?1??0??0??1?n都是R的基 。称e1???,e2???,????????0???0?
?0??0?,en???为Rn和Cn的自然基底。
?????1??an?1xn?1,a0,a1,,an?1?R?，则
例1 P[x]n??f(x)f(x)?a0?a1x?1,x,x2,?,xn?1为P[x]n的基。
注：n次多项式的全体不构成线性空间，因为不封闭。
二、基与基的关系，向量在两组基下的坐标关系
定义7 设V(F)的两组基为?1,?2,?,?2?,,?n和 ?1?an1?n?，令 ,?n??1??a11?1?a12?2???????a??a??1n12n2?n
?ann?na1n?? ?ann??则
?,?2?, ??1即
?????1,?2,,?n,?n??a11????an1?,?2?, ??1称
?????1,?2,,?na1n?? ?ann??,?n?A
?a11A?????an1为由基?1,?2,
?,?2?,,?n到?1?的过渡矩阵。 ,?n命题8 基底过渡矩阵A可逆。
?,?2?,证明 因为?1?线性无关，所以 ,?n?x1??x????2??0 ,?n?????xn???1?,?2?,只有零解，即
??1,?2,
,?n?Ax?0
６
只有零解。又因为?1,?2,可逆。
所以Ax?0，即Ax?0只有零解，所以A,?n线性无关，
?,?2?,A?1为由基?1?到?1,?2,,?n,?n的过渡矩阵，这是因为
??1?,?2?,
定理1 设?1,?2,??A?1???1,?2,,?n,?n?
,?n到
?,?2?,,?n和?1?是V的两组基，且A为由?1,?2,,?n?,,?n?的过渡矩阵， V中向量x在基?1,?2,,?n和?1?,?2?,,?n?下的坐标分别?1?,?2?a1??a1???a??a??22为??与??，则 ????????????an????an????a1??a1?a??a???2??A?2? ??????????a????n??an?
?,?2?,证明 ??1?????1,?2,,?n,?n?A，而
?a1??a?,?n??2?
??????an?????a1?a?????2? ,?n????????an? x?a1?1??an?n???1,?2,??1??x?a1?,??n????1?,?2?an???1,?2,?a1???a??2,?n?A??
????????an?
因为?1,?2,,?n线性无关，故
７
???a1??a1?a??a??2???A?2? ???????????an?????an?例2 设
?1??0??1??,???1?,???0? ?1??1??2??3??????0???1???1???1??0??0??,????1?,????0? ?1???1??2??3??????1???1???1???,?2?,?3?的过渡矩阵。 是R3两个基，求由?1,?2,?3到?1??1??1?2(?1??2??3)????2解 由于??2 ?1??3??(??1??2??3)2?即
1??10??22???11?? ?,?2?,???1 ??13?[?1,?2,?3]?22??1?1??0?2??2?所以
?1?2?1A???2?1??2?1?0??2?1?1
?21??02???,?2?,?3?构成方阵，所以也有 在上例中，由于?1,?2,?3和?1?,?3???[?1,?2,?3]A ??1?,?2 ８
?1?2?1?,?2?,?3????A?[?1,?2,?3]?1??1?2?1???21?0??2?1?1
2?1??02??例3 证明dimRm?n?mn。
证明 用Eij表示Rm?n中i,j位置是1其余都是0的矩阵，i?1,2,j?1,2,,n。即
,m，
?1k?i,l?j， Eij?(ekl)m?nekl???0其它因为对任意A?(aij)?Rm?n，有
A?a11E11?a12E12??a21E21?a22E22??a1nE1n ?a2nE2n
?am1Em1?am2Em2? ???aijEij，
i?1j?1mn?amnEmn
且E11,E12,,E1n,,Emn线性无关，所以 E11,E12,,E1n,E21,E22,,Emn
是Rm?n的基，且
dimRm?n?mn
例4 在P[x]3中取定两组基Ⅰ：x2,x,1，Ⅱ：2,(x?1)2,(x?1)2，求由Ⅰ到Ⅱ
的过渡矩阵，并求f(x)?2x2?8x?2在两组基下的坐标。
?2?2?解 ?(x?1)2?x2?2x?1，故得
?(x?1)2?x2?2x?1?９
?011?? [2,(x?1)2,(x?1)2]?[x2,x,1]?02?2????211??所以由Ⅰ到Ⅱ的过渡矩阵
?011?? A??02?2????211??故
?2?? 8f(x)?2x2?8x?2?[x2,x,1]??????2???2??。 8得f(x)在基x2,x,1下的坐标为??????2???2?? 8 f(x)?2x2?8x?2?[x2,x,1]??????2???011??2???8? 02?2 ?[2,(x?1)2,(x?1)2]???????211?????2????2?? 3 =[2,(x?1)2,(x?1)2]??????1????2??。 3得f(x)在基2,(x?1)2,(x?1)2下的坐标为??????1???1注：上式f(x)在基2,(x?1)2,(x?1)2下的坐标也可用定理1得到。
§1.4 线性子空间的相关结论
在§1.2中我们已经知道线性空间V(F)的非空子集W是V的子空间?W按
原来两种运算封闭。下面讨论子空间之间的运算关系、维数定理等。
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