一、子空间的维数
定理1 设xi?V(F),i?1,2,,m，则 ,xm]?rank[x1,x2,,xm]
dimspan[x1,x2,
证明 若x1,x2,若x1,x2,,xm都是零向量，则命题显然。
,xr是向量组x1,x2,,xm不全为零，不妨设x1,x2,,xm的极大无关
组，则x1,x2,,xm中任意一个向量可由x1,x2,,xr唯一线性表示。因为
span[x1,x2,span[x1,x2,span[x1,x2,,xm]中任意一个向量可由x1,x2,,xm]中任意一个向量可由x1,x2,,xm]的基，由此得
dimspan[x1,x2,,xm]?r?rank[x1,x2,,xm线性表示，所以
,xr是
,xr线性表示，故x1,x2,,xm]
例1 求dimspan[x1,x2,x3,x4]，其中
?11??01?， x1??x?2????00??01??10??11?x3???，x4??01? 01????
解 令k1x1?k2x2?k3x3??，k1,k2,k3?R，即
?k1?k3?0??k1?k2?0?k1?k2?k3?0， ?k?k?0?23所以x1,x2,x3线性无关，又因为x4?1(x1?x2?x3)，故x1,x2,3x为向量组x1,x2,x3,x42的极大无关组（也是span[x1,x2,x3,x4]的基），所以 dimspax1n[x2,x3,x4=,ran]xk?, ]1[x2,x3,x4
3由向量组生成空间定义与向量组等价性，不难得到下面结论。
定理2 span[x1,x2,,xm]?span[y1,y2,,xm与y1,y2,,ys]充分必要条件是向量组
x1,x2,
,ys等价
１１
定义1 设A?Fm?n，称R(A)?{y|y?Ax,x?Fn}为A的值域。 显然?y1,y2?R(A)，?x1,x2?Fn，使得y1?Ax1,y2?Ax2，故
y1?y2?A(x1?x2)?R(A)
且?k?F有
ky1?A(kx1)?R(A)
所以R(A)是Fm的子空间。
定义2 设A?Fm?n，N(A)?{x|Ax??,x?Fn}，不难证明N(A)为Fn的子空
间。称N(A)为A核空间或化零子空间。
定义3 设A?Cn?n，?为A的特征值，V??{x|Ax??x,x?Cn}，不难证明V?为Cn的子空间。称V?为A的对应特征值?的特征子空间。
显然特征子空间V?为A对应于特征值?的特征向量和零向量的全体。 定理3 设A?[?1?2?n]?Fm?n，则
,?n]；
（1）R(A)?span[?1,?2,（2）dimR(A)?rankA；
（3）dimR(A)?dimN(A)?n。 证明 （1）R(A)?{y|y?Ax,x?Fn}
?{y|y?[?1?2?n]x,x?Fn}
?xn?n,[x1,x2,,xn]T?x?Fn}
?{y|y?x1?1?x2?2??span[?1,?2,,?n]。
（2） 由（1）R(A)?span[?1,?2,,?n]，再由定理1得
,?n]?rankA
dimspan[?1,?2,故
,?n]?rank[?1,?2,dimR(A)?rankA
１２
得
（3）N(A)即为方程组Ax??的解空间，所以dimN(A)?n?rankA，由（2）
dimN(A)?n?rankR(A)
即
dimR(A)?dimN(A)?n
由定理3的（1），也称R(A)为A的列空间。 例 2 设A?Fm?p,B?Fp?n，证明
rank(AB)?min{rankA,rankB}
证明 因为?y?R(AB)，?x?Fn，使得
y?ABx?A(Bx)（Bx?Fp）
所以y?R(A)，R(AB)?R(A)，故
dimR(AB)?dimR(A)
由定理3有
rank(AB)?rankA
同理
R(BTAT)?R(BT)?rank(BTAT)?rankBT
而
rank(BTAT)?rank(AB)T?rank(AB)，
rankBT?rankB
所以
rank(AB)?rankB
综上所述得
rank(AB)?min{rankA,rankB}
定理4 （基扩充定理）设W是n维线性空间V的子空间，?1,?2,,?m是W的
基，则?1,?2,
,?m可以扩充为V的基。
,?m,?m?1线性相关，则??m?1?V，?m?1可由
１３
证明 如果??m?1?V，?1,?2,?1,?2,,?m线性表示，即得?1,?2,,?m是V(F)的基，且n?m。
如果??m?1?V，使得?1,?2,则L[?1,?2,,?m,?m?1线性无关，
,?m,?m?1]是V的子空间，?1,?2,,?m,?m?1是L[?1,?2,,?m,?m?1]的基。由于n为有限数，重复
以上过程，即可得到V的基。
二、子空间的和与交及维数定理
定义4 设V1,V2都是V的子空间，称
V1V2?{x|x?V1,x?V2}
为子空间V1,V2的交；称
V1?V2?{z|z?x?y,x?V1,y?V2}
为子空间V1,V2的和，若V1V2?{?}，则称V1?V2为直和，记为
V1?V2
定理5设V1,V2都是V的子空间，则
V1V2 ，V1?V2
都是V的子空间（分别称为交空间与和空间）。
证明 设V是数域F上的线性空间，则?x,y?V1V2，有x?V1,x?V2，
y?V1,y?V2，因为V1,V2是V的子空间，所以
x?y?V1,x?y?V2
即
x?y?V1V2。
而???F，?x?V1,?x?V2，有
?x?V1V2
所以V1V2是V的子空间。
?x,y?V1?V2，由子空间和的定义，?x1?V1,x2?V2，y1?V1,y2?V2，使得
１４
x?x1?x2，y?y1?y2
所以
x?y?(x1?y1)?(x2?y2)?V1?V2
而???F
?x??x1??x2?V1?V2
所以V1?V2是V的子空间。
这里我们要强调的是V的子空间V1,V2的并V1V2不一定是V的子空间，例如
V的子空间，但是spanE2(2是)取E11?R2?2,E22?R2?2，则V1?spanE(11)V,2?E11,E22?V1V2，而E11?E22?V1V2，所以V1V2不是线性空间。
例3 设x1,x2?R2，x1,x2不平行，则R2?L(x1)?L(x2)。
在线性空间中，由于向量加法的结合律、交换律成立，所以子空间和的结合
律、交换律成立，这就是说V的子空间V1,V2,,Vs的和可以记为
V1?V2?直和可以记为
?Vs
V1?V2?
?Vs
例4 在R3中，x轴向量集合X，y轴向量集合Y和z轴向量集合Z都是R3的
子空间，且R3?X?Y?Z。
定理6 设x1,x2,,xm，y1,y2,,ys是线性空间V(F)中的向量，生成子空间
V1?L(x1,x2,V2?L(y1,y2,则
,xm),ys)V1?V2?L(x1,x2,
,xm,y1,y2,,ys)
,xm证明 ???V1?V2，???V1,???V2，使得?????，因为?可由x1,x2,线性表示，?可由y1,y2,,ys线性表示，所以?????可由
,xm,y1,y2,,ys
x1,x2, １５