张老师初中数学家教18749437660
B M E C C （2） BE N E BA C N （1） M BF C N F A
D A D 图9-8 N BF A （4） D （3） D （2003年山西省中考试
题）
分析：（1）经过操作测量易判定△AEF是正三角形.再运用平行线等分线段定理、直角三角形的性质来证明△AEF是正三角形； (2) 不一定.运用由特殊到一般的思路来解答：若矩形恰好能折出等边三角形，先找出矩形长a与宽b的关系，再按b≤＜a的情形分类讨论. 解：（1）△AEF是正三角形.
BP E M 3 1 2 32a、
32a＜b
BC N F D A 证法一：（如图右图）由平行线等分线段定理知：PE=PA，
∴B′P是Rt△A B′E斜边上的中线， ∴PA=P B′，∠1=∠3. 又∵PN//AD，
∴∠2=∠3.而∠BAF=2∠1+∠2=900， ∴∠1=∠2=300. ∴在Rt△A B′E，∠1+∠AEF=900，
∴∠AEF=600，∠EAF=∠1+∠2=600，∴△AEF是正三角形.
证法二：∵△ABE与△A B′E完全重合， ∴△ABE≌△A B′E，∠BAE=∠1.
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由平行线等分线段定理知 ∴EB′=B′F. 又∠A B′E=900，∴△AB′E≌△A B′F，
AE=AF. ∴∠1=∠2=1∠BAD=300.∴△AEF是正三角形.
3（2）不一定.
由上推证可知当矩形的长恰好等于△AEF的边AF时，即 矩形的宽：长AB：AF=sin600=宽为b ,可知当b≤
323：2时正好能折出. 如果设矩形的长为a，
32a时，按此法一定能折出等边三角形；当a
＜b＜a时，按此法无法折出完整的等边三角形.
说明：折叠图形问题，着重考察动手操作和分析推理能力、图形的直觉判断能力和书面表述的数学素养等. 折叠图形的常见类型：对角线折叠问题；角平分线折叠问题；轴对称折叠问题；两点重合折叠问题等. 想一想本例属于哪种折叠问题？
例7 OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y 轴上，OA=10，OC=6.
（1）如图9-9（1），在OA上选取一点G，将△COG沿CG翻折，使点O落在BC边上，记为E，求折痕CG所在直线的解析式.
(2)如图9-9（2），在OC上选取一点D，将△AOD沿AD翻折，使点O
落在BC边上，记为 E′. ①求折痕AD所在直线的解析式. ②再作E′F//AB，交AD于点F，若抛物线y=－1x2+h过点F，
12求此抛物线的解析式，并判断它与直线AD的交点的个数.
（3）如图9-9（3），一般地，在OC、OA上选取适当的点D′、G′，
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y C E B
y EC D B 张老师初中数学家教18749437660
使纸片沿D′G′翻折后，点O落在BC边上，记为E〞. 请你猜想：折痕D′G′所在直线与②中的抛物线会有什么关系？用（1）中的情形验证你的猜想.
（2003年江苏省苏州市中考试题）
y E〞 C D′ B 分析：（1）由折法易知：G（6，0）、C（0，6）. O A G′ x 图9-9（3） 求得折痕CG的解析式为y=－x+6；
（2）①由勾股定理易求得D E′=10，则折痕AD的
3解析式为：y=－1x+10；
33②由题意设F（2，yF），点F在AD上，∴F的坐标为（2，8），求出
3抛物线为y=－1x2+3. 再联立方程组，判定直线AD与抛物线只有一
12个交点.
解：（1）由折法知，四边形OCEG是正方形，∴OG=OC=6，∴G（6，0）、C（0，6）.设直线CG的解析式为：y=kx+b，则0=6k+b, 6=0+b. ∴k=－1,b=6
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∴直线CG的解析式为：y=－x+6. (2) ①在Rt△ABE′中，BE′=DE′=s，
CD=6－s，∴在Rt△DCE′中，s2=(6－s)2+22, s=10.则D（0，10）.
33102?62=8，∴CE′=2. 设OD=s，则
设AD：y=k′x+10.由于它过A（10，0），∴k′=－1. ∴AD：y=－1x+10.
3333②∵E′F//AB, ∴E′(2,6) ,∴设F（2，yF），∵F在AD上，∴yF=－1×2+10=8，
333∴F（2，8）.又F在抛物线上，∴8=－1×22+h. ∴抛物线的解析
3312式为：y=－1x2+3.
12将y=－1x+10代入y=－1x2+3. 得－1x2+1x－1=0. ∵△=(1)2－
3312123334×(－1)×(－1)=0. ∴直线AD与抛物线只一个交点.
123（3） 例如可以猜想：折痕所在直线与抛物线y=－1x2+3只有一个交
12点；验证：在图1 中折痕为CG. 将y=－x+6 代入y=－1x2+3.
12得－1x2+x－3=0.
12∵△=1－4 (－3)×(－1)=0, ∴折痕CG所在直线的确与抛物线y=
12－1x2+3只有一个交点.
12 说明：本例在直角坐标系中，以轴对称折叠为变化情境，探究折痕的动态变化，引其函数变化，并用特殊的（1）中的情形加以验证.若不用（1）中的情形验证，请猜想：D′G′所在直线与②中的抛物线会有什么位置关系？
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【习题9】
1．
只利用一把有刻度的直尺，用度量的方法，按下列要求画图： ．．．．
（1）在图9-10（1）中用下面的方法画等腰三角形ABC的对称轴：
①量出底边BC的长度，将线段BC二等分，即画出BC的中点D； ②画直线AD，即画出等腰三角形ABC的对称轴.
（2）在图9-10（2） 中画出∠AOB的对称轴，并写出画图和方法.
（2003年江苏省南京市中
考试题）
2．如图9-11，107国道OA和国道OB在我市相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使P到OA、OB的距离相A 等且PC=PD，用尺规作货站P的位置（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）.
O
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107国道 A B B 图9-10（1）
C O
图9-10（2）
A
· 320国道 C · B 图9-11