Det[A] Tr[A]
MatrixPower[A,3]//MatrixForm
则输出|A|,tr(A),A3分别为
11592 3
?726??1848 ?1713??1743??801
?358??3150261516228?2218311006404?
?984?4511222384??2666477745?125?2062944294实验习题
23??111??1????1.设A??11?1?,B???1?24?,求3AB?2A及A?B.
?1?11??051???????10???2.设A??0?1?,求A10.一般地Ak?? (k是正整数).
?00????1111??1?a??111??11?a3.求?111?a11?的逆.
???1111?a1???1111?a??1?423???4.设A??110?,且AB?A?2B,求B.
??123????x1?2x2?3x3?1,?5.利用逆矩阵解线性方程组?2x1?2x2?5x3?2,
?3x?5x?x?3.23?1
实验8 矩阵的秩
实验目的 学习利用Mathematica求矩阵的秩,作矩阵的初等行变换; 求向量组的秩与极大无关组.
基本命令
1. 求矩阵M的所有可能的k阶子式组成的矩阵的命令:Minors[M,k]. 2. 把矩阵A化作行最简形的命令:RowReduce[A].
3. 把数表1,数表2, ?,合并成一个数表的命令:Join[list1,list2,?]. 例如输入
Join[{{1,0,?1},{3,2,1}},{{1,5},{4,6}}]
则输出 {{1,0,?1},{3,2,1},{1,5},{4,6}}
?32?1?3?2???例8.1 设M??2?131?3?, 求矩阵M的秩.
?705?1?8???输入
Clear[M];
M={{3,2,?1,?3,?2},{2,?1,3,1,?3},{7,0,5,?1,?8}}; Minors[M,2]
则输出
{{?7,11,9,?5,5,?1,?8,8,9,11},{?14,22,18,?10,10,?2, ?16,16,18,22},{7,?11,?9,5,?5,1,8,?8,?9,?11}}
可见矩阵M有不为0的二阶子式. 再输入
Minors[M,3]
则输出
{{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}}
可见矩阵M的三阶子式都为0. 所以r(M)?2.
?32?1?3???例8.2 已知矩阵M??2?131?的秩等于2, 求常数t的值.
?70t?1???左上角的二阶子式不等于0. 三阶子式应该都等于0. 输入
Clear[M];
M={{3,2,-1,-3},{2,-1,3,1},{7,0,t,-1}}; Minors[M,3]
输出为
{{35-7t,45-9t,-5+t}}
当t?5时, 所有的三阶子式都等于0. 此时矩阵的秩等于2.
例8.3 矩阵
?123??? A??221?,
?343???化为最简行阶梯形矩阵。
A={{1,2,3},{2,2,1},{3,4,3}} MatrixForm[A]
RowReduce[A]//MatrixForm 则输出
?100???010?? ?001???117??6??041??4例8.4 求矩阵?15?90?的行最简形及其秩.
????13?16?1???3??2?422输入
A={{6,1,1,7},{4,0,4,1},{1,2,?9,0},{?1,3,?16,?1},{2,?4,22,3}} MatrixForm[A]
RowReduce[A]//MatrixForm
则输出矩阵A的行最简形
?1??0 ?0??0??0010000???50?01?
?00??00?1根据矩阵的行最简形,便得矩阵的秩为3.
命令RowfReduce[A]把矩阵A化作行最简形. 用初等行变换可以求矩阵的秩与矩阵的逆.
2??2?38??例8.5 设A??212?212?,求矩阵A的秩.
?1314???输入
Clear[A];
A={{2,-3,8,2},{2,12,-2,12},{1,3,1,4}};
RowReduce[A]//MatrixForm
输出为
?103?2?01?3??000?2?2?? 3?0??因此A的秩为2. 例8.6
?102???设A??01?1?求A?1.
?2?1?1???A={{1,0,2},{0,1,-1},{2,-1,-1}}
MatrixForm[A]
Transpose[Join[Transpose[A],IdentityMatrix[3]]]//MatrixForm RowReduce[%]//MatrixForm Inverse[A]//MatrixForm
输出结果
?11?33??15?36?11???6?3
1?3??1?? 6??1???6??123???例8.7用初等变换法求矩阵?221?的逆矩阵.
?343???输入 A={{1,2,3},{2,2,1},{3,4,3}}
MatrixForm[A]
Transpose[Join[Transpose[A],IdentityMatrix[3]]]//MatrixForm RowReduce[%]//MatrixForm Inverse[A]//MatrixForm
则输出矩阵A的逆矩阵为
3?2??1?? ??3/2?35/2?
?111???
矩阵的秩与它的行向量组, 以及列向量组的秩相等, 因此可以用命令RowReduce求向量组的秩.
实验习题
?1?1??2?21.求矩阵A??30??21?0??4?20?的秩.
6?11??421??21?132???2.求t, 使得矩阵A??2?13?的秩等于2.
?32t???
线性方程组
实验9 求解线性方程组
实验目的 熟悉求解线性方程组的常用命令,能利用Mathematica命令各类求线性方程 组的解. 理解计算机求解的实用意义.
基本命令
1、在Mathematica系统内,方程中的等号用符号“==”表示. 2、命令NullSpace?A?,给出齐次方程组AX?0的解空间的一个基. 3、命令LinearSolve?A,b?,给出非齐次线性方程组AX?b的一个特解.
4、解一般方程或方程组的命令Solve见Mathematica入门. 最基本的求解方程的命令为
Solve[eqns, vars]
它表示对系数按常规约定求出方程(组)的全部解,其中eqns表示方程(组),vars表示所求未知变量
求解齐次线性方程组