?x1?x2?2x3?x4?0,??3x?x?x3?2x4?0,例9.1 求解线性方程组?12
5x?7x?3x?0,234???2x1?3x2?5x3?x4?0.输入
Clear[A];
A={{1,1,?2,?1},{3,?2,?1,2},{0,5,7,3},{2,?3,?5,?1}}; NullSpace[A]
则输出
{{?2,1,?2,3}}
.
注:如果输出为空集{ },则表明解空间的基是一个空集,该方程组只有零解.
?x1?x2?2x3?x4?0??3x1?2x2?3x3?2x4?0例9.2 求解线性方程组?
5x?7x?3x?0234???2x1?3x2?5x3?x4?0输入
Clear[A];
A={{1,1,2,-1},{3,-2,-3,2},{0,5,7,3},{2,-3,-5,-1}}; Nullspace[A]
输出为
{ }
因此解空间的基是一个空集,说明该线性方程组只有零解.
?x1?x2?2x3?x4?4??3x1?2x2?x3?2x4?2例9.3 求线性方程组??5x2?7x3?3x4??2??2x1?3x2?5x3?x4?4 的一个解.
输入
Clear[A,b];
A={{1,1,?2,?1},{3,?2,?1,2},{0,5,7,3},{2,?3,?5,?1}}; b={4,2,?2,4} LinearSolve[A,b]
输出为
{1,1,?1,0}
注: 命令LinearSolve只给出线性方程组的一个解.
?x1?x2?2x3?x4?4??3x?2x2?x3?2x4?2例9.4 求线性方程组?1?5x2?7x3?3x4?2??2x1?3x2?5x3?x4?4 的一个解.
输入
Clear[A,b];
A={{1,1,2,-1},{3,-2,-1,2},{0,5,7,3},{2,-3,-5,-1}}; b={4,2,2,4} LinearSolve[A,b]
输出为
Linearsolve::nosol:Linear equation encountered which has no solution.
说明该方程组无解.
例9．5求出通过平面上三点(0,7),(1,6)和(2,9)的二次多项式ax2?bx?c,并画出其图形.
?0?a?0?b?c?7?根据题设条件有 ?1?a?1?b?c?6, 输入
?4?a?2?b?c?9?Clear[x];
A={{0,0,1},{1,1,1},{4,2,1}} y={7,6,9}
p=LinearSolve[A,y]
Clear[a,b,c,r,s,t];{a,b,c}.{r,s,t} f[x_]=p.{x^2,x,1};
Plot[f[x],{x,0,2},GridLines?>Automatic,PlotRange?>All];
则输出a,b,c的值为 {2,?3,7}
并画出二次多项式2x2?3x?7的图形(略).
非齐次线性方程组的通解
用命令Solve求非齐次线性方程组的通解.
例9.6 求出通过平面上三点(0,0),(1,1),(-1,3)以及满足f?(?1)?20,f?(1)?9的4次多项式
f(x).
解 设f(x)?ax4?bx3?cx2?dx?e,则有
?e?0?a?b?c?d?e?1?? ?a?b?c?d?e?3??4a?3b?2c?d?20???4a?3b?2c?d?9输入
Clear[a,b,c,d,e];q[x_]=a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e; eqs=[q[0]= =0,q[1]= =1,q[-1]= =3,q’[-1]= =20,q’[1]= =9]; {A,y}=LinearEquationsToMatrices[eqs,{a,b,c,d}]; p=LinearSolve[A,y];f[x_]=p.{x^4,x^3,x^2,x,1};
Plot[f[x],{x,-1,1},GridLines->Automatic,PlotRange->All];
则输出所求多项式
f(x)??
用命令solve求非齐次线性方程组的通解. ?x1?x2?2x3?x4?1??2x1?x2?x3?2x4?3例9.9解方程组?x1?x3?x4?2???3x1?x2?3x4?519431327235x?x?x?x, 4444
输入
Solve[{x-y+2z+w==1,2x-y+z+2w==3,x-z+w==2,3x-y+3w==5},{x,y,z,w}] 输出为
{{x?2-w+z,y?1+3z}}
即x1?2?x4?x3,x2?1?3x3.于是,非齐次线性方程组的特解为(2,1,0,0). ?x1?2x2?3x3?4x4?4??x2?x3?x4??3例9.10解方程组?
x?3x?x?1124????7x2?3x3?x4??3解法1 用命令Solve 输入
Solve[{x-2y+3z-4w==4, y-z+w==-3,x+3y+w==1,-7y+3z+3w==-3},{x,y,z,w}] 输出为
{{x?-8,y?3, z?6, w?0}}
即有唯一解x1??8,x2?3，x3?6，x4?0.
解法2 这个线性方程组中方程的个数等于未知数的个数,而且有唯一解 ,此解可以表示
?1为x?Ab.其中A是线性方程组的系数矩阵,而b是右边常数向量. 于是, 可以用逆阵计算
唯一解.
输入
Clear[A,b,x];
A={{1,-2,3,-4},{0,1,-1,1},{1,3,0,1},{0,-7,3,1}}; b={4,-3,1,-3}; x=Inverse[A].b 输出为
{-8,3,6,0}
解法3 还可以用克拉默法计算这个线性方程组的唯一解.为计算各行列式,输入未知数的系数向量,即系数矩阵的列向量.
输入
Clear[a,b,c,d,e]; a={1,0,1,0}; b={-2,1,3,-7}; c={3,-1,0,3}; d={-4,1,1,1}; e={4,-3,1,-3};
Det[{e,b,c,d}]/ Det[{a,b,c,d}] Det[{a,e,c,d}]/ Det[{a,b,c,d}] Det[{a,b,e,d}]/ Det[{a,b,c,d}] Det[{a,b,c,e}]/ Det[{a,b,c,d}] 输出为
-8 3 6 0
?ax1?x2?x3?1?例9.10 当a为何值时,方程组?x1?ax2?x3?1无解、有唯一解、有无穷多解?当方程
?x?x?ax?123?1组有 解时,求通解.
先计算系数行列式,并求a,使行列式等于0.
输入
Clear[a];
Det[{{a,1,1},{1,a,1},{1,1,a}}]; Solve[%??0,a]
则输出
{{a??2},{a?1},{a?1}} 当a??2,a?1时,方程组有唯一解.输入
Solve[{a*x?y?z??1,x?a*y?z??1,x?y?a*z??1},{x,y,z}]
则输出{{x?111}} , y?, z?2?a2?a2?a当a??2时,输入
Solve[{?2x+y+z==1,x?2y+z==1,x+y?2z==1},{x,y,z}]
则输出
{ }
说明方程组无解. 当a=1时,输入
Solve[{x+y+z==1,x+y+z==1,x+y+z==1},{x,y,z}]
则输出
{{x?1?y?z}}}
说明有无穷多个解.非齐次线性方程组的特解为(1,0,0),对应的齐次线性方程组的基础解 系为为(?1,1,0)与(?1,0,1).
?2x1?x2?x3?x4?1?例9.11 求非齐次线性方程组 ?3x1?2x2?x3?2x4?4的通解.
?x?4x?3x?5x??2234?1解法1 输入
A={{2,1,?1,1},{3,?2,1,?3},{1,4,?3,5}};b={1,4,?2}; particular=LinearSolve[A,b] nullspacebasis=NullSpace[A]
generalsolution=t*nullspacebasis[[1]]+k*nullspacebasis[[2]]+Flatten[particular] generalsolution//MatrixForm
解法2 输入
B={{2,1,?1,1,1},{3,?2,1,?3,4},{1,4,?3,5,?2}} RowReduce[B]//MatrixForm
根据增广矩阵的行最简形, 易知方程组有无穷多解. 其通解为