1 一元二次方程
一、情境创设
1、小区在每两幢楼之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？ 2、学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率？ 3、一个正方形的面积的2倍等于15，这个正方形的边长是多少？ 4、一个数比另一个数大3，且两个数之积为10，求这两个数。 二、探索活动
上述问题可用方程解决：
问题1中可设宽为x米，则可列方程： x（x+10）= 900 问题2中可设这两年的平均增长率为x，则可列方程： 5（1＋x）2 = 7.2 问题3中可设这个正方形的连长为x，则可列方程： 2x2 = 15 问题4中可设较小的一个数为x，则可列方程： x（x＋3）= 10 观察上面列出的4个方程，它们有哪些相同点？（从方程的概念看）
归纳：像上述方程这样，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。 注：符合一元二次方程即符合三个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程 任何一个关于x的一元二次方程都可以化成下面的形式：ax2＋bx＋c = 0（a、b、c是常数，且a≠0）
这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别叫二次项系数和一次项系数。 三、例题教学
例 1 根据题意，列出方程：
（1）某学校图书馆去年年底有图书1万册，预计到明年年底增加到1.44万册。求这两年图书的年平均增长率。 （2）一块面积为600平方厘米的长方形纸片，把它的一边剪短10厘米，恰好得到一个正方形。求这个正方形的连长。 例 2 判断下列关于x的方程是否为一元二次方程： ⑴ 2（x－1）= 3y ⑵ ⑶（x－3）= （x＋5）
2
2
2
2
2
12??3 x2x2
⑷ mx＋3x－2 = 0
⑸ （a＋1）x＋（2a－1）x＋5―a = 0
例 3 把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： ⑴ 2（x－1）= 3 x ⑵ 3（x－3）=（x＋2）＋7 四、课时作业：
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）． （A）x2－
2
2
2
1=1 （B）x2+y=2 （C）2x2=2 （D）x+5=（－7）2 x2．方程3x2=－4x的一次项系数是（ ）．
（A）3 （B）－4 （C）0 （D）4
3．把一元二次方程（x+2）（x－3）=4化成一般形式，得（ ）．
（A）x2+x－10=0 （B）x2－x－6=4 （C）x2－x－10=0 （D）x2－x－6=0 4．一元二次方程3x2－3x－2=0的一次项系数是________，常数项是_________．
5．x=a是方程x2－6x+5=0的一个根，那么a2－6a=_________． 6．根据题意列出方程：
（1）已知两个数的和为8，积为12，求这两个数．如果设一个数为x，那么另一个数为________，根据题意可得方程为___________． （2）一个等腰直角三角形的斜边为1，求腰长．如果设腰长为x，根据题意可得方程为______________． 7．判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的解： x2+5x+4=0 （x1=－1，x2=1，x3=－4）；
8．根据题意，列出方程：
有一面积为60m2的长方形，将它的一边剪去5m，另一边剪去2m，恰好变成正方形，?试求正方形的边长．
9．当m满足什么条件时，方程m（x2+x）=（x+1）是一元一次方程？
2x2－（x+1）是关于x的一元二次方程？当m 取何值时，方程m（x2+x）=2x2－
10．把方程(2x?1)2?x?(x?1)(x?1)化成一般形式是 ．
211．一元二次方程2x?x?6的二次项系数、一次项系数及常数之和为 ．
212．关于x的方程(m?1)x13．已知x2?2mx?3?0是一元二次方程，则m的取值范围是 ．
?3x?6的值为9，则代数式3x2?9x?2的值为 ．
214．下列关于x的方程：①ax（ ） A．1个
15.若ax2?bx?c?0；②x2?B．2个
4?3?0；③x2?4?x5?0；④3x?x2中，一元二次方程的个数是x
D．4个
C．3个
?5x?3?0是关于x的一元二次方程，则不等式3a?6?0的解集是（ ）
B．a??2 C．a??2且a2A．a??2 ?0 D．a?1 216．关于x的一元二次方程(a?1)xA．1
B．?1
?x?a2?1?0的一个根是0，则a的值为（ ）
D．
C．1或?1
1 217．如下图所示，相框长为10cm，宽为6cm，内有宽度相同的边缘木板，里面用来夹相片的面积为32cm2，则相框的边缘宽为多少厘米？我们可以这样来解：
（1）若设相框的边缘宽为xcm，可得方程 （一般形式）； （2）分析并确定x的取值范围； （3）完成表格：
（4）根据上表判断相框的边框宽
18. 一元二次方程ax+bx+c=0，若有一个根为﹣1，则a－b+c= ，如果a+b+c=0，则有一根为 19．无论a为何实数，下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ）
A．(a2－1)x2+bx+c=0 B.ax2+bx+c=0 C． a2x2+bx+c=0 D.(a2+1)x2+bx+c=0 20 方程x2+3x－x+1=0的一次项系数是（ ） A．3 B.－1 C.3－1 D.3x－x
21. 某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1 185元降到了580元，设平均每次降价的百分率为_________________________________.
22. 如图①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边． 如图17②，地毯图案长8米、宽6米，整个中央的矩形地毯的面积是40平方米．求花边的宽。
2
x （1）中ax20 1 2 3 是多少厘米？
?bx?c x，则列出方程为
思考： 若x2?x?2?0，求x2?x?23的值。
(x2?x)2?1?3课时作业： 1．C 2．D 3．C 4．－5．－5
6．（1）8－x；x（8－x）=12 （2）x2+x2=1 7．
方程 x2－1=2x x－ 一般形式 x2－2x－1=0 － 二次项系数 1
3；－2
7x2=0 6－3y2=0 （x－2）（2x+3）=6 7x2+x=0 －3y2+6=0 2x2－x－12=0
7 －3 2
一次项系数 －2 1 0 －1 常数项 －1 0 6 －12
8．（1）x1=－1，x3=－4是原方程的解，x2=1不是原方程的解． （2）x1=3，x4=－1是原方程的解，x2=2，x3=1不是原方程的解． 9．设正方形的边长为xm，（x+5）（x+2）=60 10．当m≠11．3x22时，原方程是关于x的一元二次方程；当m=2时，原方程是一元一次方程．
?3x?2?0
12．?5 13．?7 14．m?15．7 16．A 17．C 18．B 19．C 20．（1）x21. 22. C 23. D 24. C
D
2?1
?8x?7?0；（2）0?x?3；（3）7，0，?5，?8；（4）1cm．
25. (2k－3) x2+（3k－6）x+ k+2=0,二次项系数2k－3，一次项系数3k－6，常数项k+2。 26.
1 185(1?x)2?580
27. (8－2x)(6－2x)=40
228. 23 （提示：在利用方程解有关代数式求值问题时,可用整体代入的方法求解,把x?x?2?0变为x2－ x=2代入代数式中求值.）
3课前预习 1. C 2. D
2 一元二次方程的解法（1）
学习目标
2
1、了解形如（x＋m）= n（n≥0）的一元二次方程的解法 —— 直接开平方法 2、会用直接开平方法解一元二次方程 学习过程：
一、情境创设
我们曾学习过平方根的意义及其性质，现在来回忆一下：什么叫做平方根?平方根有哪些性质?
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。用式子表示：若x2=a，则x叫做a的平方根。平方根有下列性质：
(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的；(2)零的平方根是零；(3)负数没有平方根。如何求出适合等式x2=4的x的值呢?
二、探索活动
根据平方根的定义，由x2＝4可知，x就是4的平方根，因此x的值为2和－2 即 根据平方根的定义，得 x2＝4 x＝±2
即此一元二次方程的解为： x1=2，x2 =－2 这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。 三、例题教学
例 1 解下列方程：
2
（1）x2＝2 （2）4x－1＝0
分析：第1题直接用开平方法解；第2题可先将－1移项，再两边同时除以4化为x2＝a的形式，再用直接开平方法解之。
例 2 解下列方程：
222
⑴ （x＋1）= 2 ⑵ （x－1）－4 = 0 ⑶ 12（3－x）－3 = 0
分析：第1小题中只要将（x＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解；第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1小题一样地解；第3小题先将－3移到方程的右边，再两边同除以12，再同第1小题一样地去解即可。
2
小结：如果一个一元二次方程具有（x＋m）= n（n≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解。（用直接开平方法解一元二次方程就是将一元二次方程的左边化为一个完全平方式，右边化为常数，且要养成检验的习惯）
四、课堂练习
1．用直接开平方法解下列方程
222
① 2x-8=0 ② 9x-5=3 ③ (x+6)-9=0
222
④ 3(x-1)-6=0 ⑤ x-4x+4=5 ⑥ 9x+6x+1=4
2．填空选择：
2
1）.方程(x-m)=n 有根的条件是
2
2）.若(x-2)=25 则x=
x2?43）.若分式的值为0，则x的值是
x?22
4）.若关于x的方程(x+3)+a=0,有实数根，则a的取值范围
2
5）.解方程(x+m)=n,正确的结论是（ ）
A有两个解x=?n B当n≥0时，有两个解x=?n-m
n?m D当n≤0时，无实数解
C当n≥0时，有两个解x=?2
6）.一元二次方程ax-b=0(a≠0)的根是（ ） A
abababa B C ? D a、b异号时无实数根；a、b同号时根为?
aaab3.解方程 ①
④ 3x-5=0 ⑤ (x?a)?b(b≥0) ⑥ (x?a)?b
2
1(3x?1)2?8?0 ② 4(2x?1)2?9?0 ③x2+6x+9=8 2222
4．解答题：
1）（改编2013江苏南京）已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，求x的值．
2）（改编2013新疆）2009年国家扶贫开发工作重点县农村居民人均纯收入为2025元，2011年增长到4225元．求年平均增长率。