2 一元二次方程的解法（2）
学习目标
2
1、经历探究将一元二次方程的一般（x＋m）= n（n≥0）形式的过程，进一步理解配方法的意义 2、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，体会转化的思想方法 学习过程：
一、情境创设
22
我们已经学过了用直接开平方法解形如（x＋m）= n（n≥0）的一元二次方程，那么如何解方程x＋6x＋4 = 0呢? 二、探索活动
22
我们能否将方程x＋6x＋4 = 0转化为（x＋m）= n的形式呢？ 先将常数项移到方程的右边，得
2
x＋6x = －4
2
即 x＋2·x·3 = －4
2
在方程的两边加上一次项系数6的一半的平方，即3后，得
22 2
x＋2·x·3 ＋3= －4＋3
2
（x＋3）= 5
解这个方程，得： x＋3 = ±5 所以 x1 = -3＋5 x2 = ―5-3
（注：可以多举几例，综合得出“两边加上一次项系数一半的平方”的结论）
2
由此可见，只要先把一个一元二次方程变形为（x＋m）= n的形式（其中m、n都是常数），如果n≥0，再通过直接开平方法求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
三、例题教学
例 1 将下列各进行配方：
⑴x＋8x＋_____＝（x＋_____）⑶x－
222
⑵x－5x＋_____＝（x－_____）
22
32 2 2x＋_____＝（x－____）⑷x－62x＋_____＝（x－____）2分析：本题应用“方程两同时加上一次项系数一半的平方”来配方。 例 2 解下列方程：
22
（1） x－4x＋3 = 0 （2）x＋3x－1 = 0
小结：用配方法解一元二次方程的一般步骤： 1、把常数项移到方程右边；2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；3、利用直接开平方法解之。
思考：为什么在配方过程中，方程的两边总是加上一次项系数一半的平方？
四、课堂练习 1．用适当的数填空：
①、x2+6x+ =（x+ ）2； ②、x2－5x+ =（x－ ）2； ③、x2+ x+ =（x+ ）2； ④、x2－9x+ =（x－ ）2
2．将二次三项式x2-3x-5进行配方，其结果为 ，当x= 时，它有最 值，且为 ． 3．已知4x2-ax+1可变为（2x-b）2的形式，则ab=_______．
4．将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为_______，所以方程的根为_________． 5．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（ ）
A．3 B．-3 C．±3 D．以上都不对 6．用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是（ ） A．（a-2）2+1 B．（a+2）2-1 C．（a+2）2+1 D．（a-2）2-1 7．把方程x2+3=4x配方，得（ ）
A．（x-2）2=7 B．（x+2）2=21 C．（x-2）2=1 D．（x+2）2=2 8．用配方法解方程x2+4x=10的根为（ ）
A．2±10 B．-2±14 C．-2+10 D．2-10 9．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（ ）
A．总不小于2 B．总不小于7 C．可为任何实数 D．可能为负数 10．用配方法解下列方程：
（1）x2-5x=2． （2）x2+8x=9 （3）x2+12x-15=0 （4）x2-x-4=0
（5）x?x?1?0 （6）3x2?6x?1?0 （7）(x?1)?2(x?1)?
思考：.用配方法求解下列问题
（1）求2x2-7x+2的最小值 ； （2）求-3x2+5x+1的最大值。
221?0 2
2 一元二次方程的解法（3）
学习目标
1、掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤和方法
2、会正确运用配方法解一元二次方程，进一步体会配方法是一种重要的数学方法 学习过程：
一、情境创设
我们已经学过了用直接开平方法与配方法解一元二次方程，那么如何解方程2x?5x?4?0呢?
二、探索活动
2
由于该方程不是（x＋m）= n（n≥0）的形式，因此不能用直接开平方法解，而且也不符合上节课用配方法所解的方程的形式，但如果将方程两边同时除以二次项系数的话就和上节课所学的一样了。即
方程两边同时除以2，得：x?225x?2?0．再用上节课的知识解决即可。 2小结：对于二次项系数不为1的一元二次方程，我们可以先将两边同时除以二次项系数，再利用配方法求解。 三、例题教学
例 1 解下列方程：
2 2
⑴ 3 x＋8x＋1 = 0⑵ －3 x＋4x＋1 = 0
分析：第1小题先将方程两边同时除以3，将二次项系数化为1，再用配方法解之；而第2小题的二次项系数是负数，同样只需两边同除以二次项系数－3，再用配方法解之。
小结：用配方法解一元二次方程的一般步骤： 1、方程两边同时除以二次项系数；2、把常数项移到方程右边；
3、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；4、利用直接开平方法解之。 四、课堂练习 1. 填空
2（1）x?8x?（ ）?（x? ）． （2）x?2222x?（ ）＝（x? ）2． 3（3）y?by?（ ）＝（y? ）2． a2. 用配方法解方程：
（1）3x?6x?1?0 （2） 2x?5x?4?0 （3）2x?3x?1?0 （4）3x?9x?2?0
22223．用适当的方法解方程
23(x?1)?12；（1） （2）y?4y?1?0； （3）x?8x?84； （4）y?3y?1?0．
222
2224．关于x的方程x?9a?12ab?4b?0的根x1? ，x2? ．
5．
6．用配方法证明：
（1）a?a?1的值恒为正； （2）?9x?8x?2的值恒小于0．
22关于x的方程x?2ax?b?a?0的解为
222b211b1.答案：（1）16，4 （2）， （3）2，
4a932a2．（1）∴x1?1?5?575?573?173?1722∴x?x?x?x?，．（3），； 3，x2?1?3．1212（2）
444433（4）∴x1?9?579?57，x2?． 66223．解：（1）∵3(x?1)?12，∴(x?1)?4．
∴x?1??2．∴x1?1，x2??3．
（2）∵y?4y?1?0，∴y?4y?4?3．
22∴(y?2)2?3．∴y?2??3．
∴y1??2?3，y2??2?3．
（3）∵x?8x?84，∴x?8x?16?100．
22∴(x?4)2?100．∴x?4??10．
∴x1?14，x2??6．
?3??3?2（4）∵y?3y?1?0，∴y2?3y???????1．
?2??2?353?5?． ∴?y???．∴y???222?4?∴y1??3?5?3?5，y2?． 22
2224．答案：x1?3a?2b，x2??(3a?2b)5．答案：x1??a?b，x2??a?b
13?1?3326．案：证明：（1）∵a2?a?1?a2?a????a???≥?0，∴a?a?1的值恒为正．
44?2?442??1684??22?2 （2）∵?9x?8x?2??9?x?x?????999??????24?22?2 ??9?x???≤??0，∴?9x?8x?2的值恒小于0．
9?99?
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