2 一元二次方程的解法（4）
学习目标
2
1、体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b－4ac≥0 2、会用公式法解一元二次方程 学习过程：
一、情境创设
1、用配方解一元二次方程的步骤是什么？
2、用配方法结合直接开平方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？
2
3、如何解一般形式的一元二次方程ax＋bx＋c = 0（a≠0）？ 二、探索活动
能否用配方法把一般形式的一元二次方程ax＋bx＋c = 0（a≠0）转化为(x?b)2?ba2
2?4ac呢？ 4a2回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨论交流，达成共识： 因为a?0，方程两边都除以a，得 x2?bx?c?0
aa移项，得 x2?bx??c
aa配方，得 x2?2?b?x?(b)2??c?(b)2
2a2aa2a2即 (x?b)2?b?4ac
22a4a22当b?4ac?0，且a?0时，b?4ac大于等于零吗？
4a2222让学生思考、分析，发表意见，得出结论：当b?4ac?0时，因为a?0，所以4a?0，从而b?4ac?0
4a2到此，你能得出什么结论？
2让学生讨论、交流，从中得出结论，当b?4ac?0时，一般形式的一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的根为
2?b?b2?4ac。 bb2?4ac，即x?x???2a2a2a222由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的求根公式：x??b?b?4ac （b?4ac?0）
2a这个公式说明方程的根是由方程的系数a、b、c所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。
思考：当b2?4ac?0时，方程有实数根吗？
三、例题教学
例 1 解下列方程：
2 2
⑴ x＋3x＋2 = 0⑵ 2 x－7x = 4
分析：第2小题要先将方程化为一般形式再用求根公式求解。
四、课堂练习
1. 若方程(m?m?2)x?mx?n?0是关于x的一元二次方程,则m的范围是（ ）.
(A)m≠1 (B)m≠2 (C)m≠-1 或2 (D)m≠-1且m≠2
2. 在实数范围内定义一种运算“＊”，其规则为a＊b?a?b，根据这个规则，方程(x?2)＊5?0的解为 .
2
3一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________．
2
4当x=______时，代数式x-8x+12的值是-4．
22
5关于x的一元二次方程（m-1）x+x+m+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____．
2
6方程x—5x—1=0( )
A．有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D.无法确定 7.用公式法解下列方程：
222（1）x?2x?2?0； （2）3x?4x?7?0； （3）2y?8y?1?0； （4）2x?3x?222221?0． 8
8.用适当的方法解下列方程：
(1)2 x2＋x－6＝0； (2) x?2x?4?0； (3)5x2－4x－12＝0； (4) (x?1)(x?2)?5．
9.已知y1＝2x＋7x－1，y2＝6x＋2，当x取何值时y1＝y2？
10.当a取什么值时, 关于的方程ax?4x?1?0有两个相等的实数根? 当a取什么值时, 关于的方程
222ax2?4x?1?0有两个不相等的实数根? 当a取什么值时, 关于的方程ax2?4x?1?0没有实数根?
2 一元二次方程的解法（5）
学习目标
2
1、用公式法解一元二次方程中，进一步理解代数式b－4ac对根的情况的判断作用
2
2、能用b－4ac的值判别一元二次方程根的情况 学习过程：
一、情境创设
不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？
222
⑴ x＋2x－8 = 0 ⑵ x = 4x－4 ⑶ x－3x = －3 二、探索活动 1、一元二次方程根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？
例 解下列方程：⑴ x＋x－1 = 0 ⑵ x－23x＋3 = 0 ⑶ 2x－2x＋1 = 0
2
2
2
2
分析：本题三个方程的解法都是用公式法来解，由公式法解一元二次方程的过程中先求出b－4ac的值可以发现它的符号决定着方程的解。
22
由此可以发现一元二次方程ax＋bx＋c = 0（a≠0）的根的情况可由b－4ac来判定：
22
当b－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当b－4ac = 0时，方程有两个相等的实数根；
222
当b－4ac ＜ 0时，方程没有实数根。我们把b－4ac叫做一元二次方程ax＋bx＋c = 0（a≠0）的根的判别式。 2、若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到的值的符号呢？
22
当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b－4ac＞0；当一元二次方程有两个相等的实数根时， b－4ac = 0；
2
当一元二次方程没有实数根时，b－4ac ＜ 0
三、例题教学
例 1 不解方程，判断下列方程根的情况：
⑴ 3x－x＋1 = 3x
2
22
⑵ 5（x＋1）= 7x ⑶ 3x－43x = －4
2
分析：先把方程化为一般形式，确认a、b、c后，再算出b－4ac的值，对方程给予判定。
2
例 2 若方程8x－（m－1）x＋m－7 = 0有两个不相等的实数根，求m的值。
2
分析：本题与例1刚好相反，应由方程有两个不相等的实数根得b－4ac = 0，从而得到关于m的方程，求出m的值。
四、课堂练习
1. 不解方程，判断下列方程根的情况：
222
⑴ 4x＋13x＋9 = 0 ⑵ 3（x－2）= x ⑶ 3x＋4x = 5
2.基础训练
1）若一元二次方程x2＋2x＋m＝0无实数解，则m的取值范围是＿＿＿＿＿
2）关于x的一元二次方程x?(m?2)x?m?1?0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A、0 3）如果方程
B．8
C．4?22
D．0或8
12
x－2x＋m＝0有实根，则m的取值范围是＿＿＿＿＿＿ 34）已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A、a＜2 B、a＞2 C、a＜2且a≠1 D、a＜－2
5）已知关于x的一元二次方程x2－bx＋c＝0的两根分别为x1＝1，x2＝－2，则b与c的值分别是（ ） A、b＝－1，c＝2 B、b＝1，c＝－2 C、b＝1，c＝2 D、b＝－1，c＝－2 6）已知一元二次方程x2－3x－1＝0的两个根x1、x2，则x1x2?x1x2的值为（ ）
A、－3 B、3 C、－6 D、6 3.问题研讨
例1、已知关于x的一元二次方程x2?4x?m?1＝0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根。
例2、已知关于x的方程2x2－（4k＋1）x＋2k2－1＝0，k为何值时：
①方程有两个不相等实根； ②方程有两个等根； ③方程没有实根
例3、探究发现：
解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表格中两个解的和与积，它们和原来的方程的系数有什么联系？ （1）x2?2x?0 （2）x2?3x?4?0 （3）x2?5x?6?0 （1）请用文字语言概括你的发现：__________________________
（2）一般的，对于关于x的方程x2?px?q?0(p，q为常数，p2?4q?0)的两根为x1、
方 程 x1 x2 x1?x2 x1x2 （1） （2） （3） 22x2，则x1?x2?_____________，x1x2? _____________。
（3）运用以上发现，解决下面的问题：
①已知一元二次方程x－2x－7=0的两个根为x1，x2，则x1+x2的值为（ ） A．－2 B．2 C．－7 D．7
②已知x1，x2是方程x－x－3=0的两根，试求（1+x1）（1+x2）和x1+x2的值。
2
2
2
2
（1）两根之和，等于一次项系数除以二次项系数所得商的相反数；两根之积，等于常数项除以二次项系数所得的商； （2）?p，q； （3）B；?1，7。
2 一元二次方程的解法（6）
学习目标
1、会用因式分解法解一元二次方程，体会“降次”化归的思想方法
2、能根据一元二次方程的特征，选择适当的求解方法，体会解决问题的灵活性和多样性 学习过程：
一、情境创设
2
用不同的方法解方程：x－x = 0 二、探索活动
2
1、你能用几种方法解方程x－x = 0？
本题既可以用配方法解，也可以用公式法来解，但由于公式法比配方法简单，一般选用公式法来解。还有其他方法可以解吗？
仔细观察方程的左边，可以发现这个等式的左边有公因式x，这时可把x提出来，左边即为两项的乘积，我们知道：两个因式的乘积等于0，则这两个因式为零，这样，就把一元二次方程降为一元一次方程，此时，方程即可解。
2
解：x-x＝0， x(x-1)＝0， 于是x＝0或x-3＝0． ∴x1=0，x2=3
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 2、下面哪些方程，用因式分解法求解比较简便？
2222
⑴ x－2x－3 = 0 ⑵ （2x－1）－1 = 0 ⑶ （x－1）－18 = 0 ⑷ 3（x―5）= 2（5―x） 分析：第⑴、⑷小题用因式分解法求解比较简便。
结论：如果一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积，那么这样的一元二次方程就可以用因式分解法求解。
三、例题教学
例 1 解下列方程：
2
⑴ x = －4x ⑵ x＋3－x（x＋3）= 0
分析：第⑴小题先化为一般形式，再提取公因式分解因式解之；第⑵小题可以将（x＋3）作为一个整体，提取公因式解之。
22
例 2 解方程（2x－1）－x= 0
分析：方程的左边可以用“平方差公式”分解因式，将之分解为两个一次因式的积，从而解之。
思考：在解方程（x＋2）2 = 4（x＋2）时，在方程两边都除以（x＋2），得x＋2=4，于是解得x =2，这样解正确吗？为什么？（不正确，这样解使得方程少了一个解，原因在于两边同时除以的因式（x＋2）可能为0，而方程两边不可以同时除以0）
四、课堂练习 1．选择题
(1)方程5x(x＋3)＝3(x＋3)解为( )