华南理工大学《高等数学》(下册)期末试题及答案三
方程通解为y c1e3x c2ex，由定解的初值条件c1 c2 2
y 3c1e3x c2ex，由定解的初值条件3c1 c2 1
从而c1
1515,c2 ，特解为y e3x ex 2222
六、设函数f(u)有二阶连续导数，而函数z f(exsiny)满足方程
2z 2z2x
ze22
x y
试求出函数f(u)．
2 z 2zx
f u esiny,2 f u exsiny f u exsiny 解：因为 x x
2 z 2zx
f u ecosy,2 f u excosy f u ex( siny) y y
2z 2z
2 f u e2x f(u)e2x, f u f(u) 0 2
x y
特征方程为r 1 0,r,r2 1,f u c1e c2e 1 1
2
u
u
七、计算曲面积分
222
(xycos yxcos zcos )dS，
其中 是球体x2 y2 z2
2z与锥体z 的公共部分 的表面，
cos ，cos ，cos 是其外法线方向的方向余弦．
222 x2 y2 1 x y z 2z2
2z 2z,z1 0,z2 1, 解：两表面的交线为
z 1 z 原式
x
2
y2 2z dv，投影域为D:x2 y2 1，
用柱坐标 :0 2 ,0 r 1,r z 12
原式
1
d rdr
r
r
1
12
2z dz 2 r
rz z
2
1
2
1r
2 r r21r 10
r dr
2
2
3