?1??1?2??12k???2Tαβ? ???????1????1?1??0???T βγ??2??0?21???0???k???0k?42k??, ?2?k???2?4?2k1?2??, k??2故所给的线性方程组可改写为
4k?1??1?3???6?.82k?2?x? ?2??? ????12k?2?2k???3k??对其增广矩阵作初等行变换，使之化为阶梯形矩阵
4k?13??1?82k?26? A??2?(r)???12k?2?2k3k??4k?13??1?02k?2?k?13k?3??B. ???000??0??14k?13??,02?13当k??1时, 此时A可化为矩阵B1????易知
?00??00?r(A)?r(B1)?2?3. 故线性方程组有无穷多解：
?x1??? x??x2??c1??x3????k?1???3??1??3??2???2?, 其中c1为任意常数. ?1??0??????14?23??,0000 当k??1时, 此时A可化为矩阵B2????易知
??0000??r(A)?r(B2)?1?3. 故线性方程组有无穷多解：
?x1??? x??x2??c1??x3????4??1??c2????0???2??3??0???0?,???? 其中c1,c2为两个任意常数.） ??1????0??x?y?z?1,??50. 已知方程组?2x?(a?3)y?3z?3,有无穷多解, 试求 a,b 的取
??2x?(a?1)y?bz?a?1?值及方程组的解.
（第3 章 答案： 当a?0,b?1,方程组的通解为
(0,1,0)T?k(0,1,1)T.当a??1,b?2,则方程组的通解为
知识点参看第2章P51 第2(0,0,?1)T?k(?1,1,0)T. 要说明理由）
章P49
51.设A,B都是n阶矩阵, 且 A2?AB?E,求矩阵
(AB?BA?2A)的秩.
（第4 章 答案：r(AB?BA?2A)=r(2A)=r(A)=n.）知识点参看第6章P150 第4章P168 52. 已知向量组
?0??,β1??1?????1???a??,β2??2????1???b??与向量组 β3??1????0???1??3??9??,α??0?,α??6? 有相同的秩，且α1??2β3可由α1,α2,α3 23???????????3???1????7??线性表出，求 a,b 的值.
（第4 章b?5, a?15.）知识点参看第4章P107 第4章P168 53. 已知α是齐次线性方程组Ax=0的基础解系, 其中
?1?1 A= ??a??221?3a??, 求a的值. 1?1??60? （第4 章 答案：因为A是4?3矩阵, 基础解系中仅有
一个解向量α, 故3?r(A)?1,即r(A)?2. 而
?1?1??a??221??1?03a???????01?1???60??021?1?1??,可见a?0.）知识点参看第4章0a??0?4a?P107 第4章P168
?123??中a?0,且齐次线性方程组Ax=0有非 04a54. 已知矩阵A= ?????1a9??**零解. A是A的伴随矩阵, 试求齐次方程组Ax=0 的通解.
（第4 章 答案：因齐次方程Ax=0有非零解, 故
123A?04a?24?2a?a2?0.于是 a?6或a??4. 因a?0,故取
1a9a??4. 因r(A)=2, 所以r(A*)=1.于是齐次方程组A*x=0**有n?r(A)=3?1?2. 又因AA=AE=0, 所以矩阵A的**列向量是齐次方程组Ax=0 的解. 故Ax=0 的通解为
k1(1,0,1)T+k2(1,2,?2)T.）知识点参看第4章P107 第4章P168
55. 设A是3?4矩阵, 秩 r(A)=1,若α1?(1,2,0,2)T,α2?
(1,?1,a,5)T,α3?(3,a,?3,?5)T,α4?(?1,?1,1,a)T线性相关, 且可以
表示齐次线性方程组Ax=0的任一解, 求Ax=0的基础解系. （第4章 答案：因设A是3?4矩阵, 秩r(A)=1,所以Ax=0的基础解系有 n?r(A)=3个解向量. 由此知向量组
α1,α2,α3,α4的秩为3, 且其最大线性无关组就是Ax=0的基
础解系. 对矩阵
12?1?1?1?1?2?1??0a?1?3?施行初等变换得? ??0a?3?01?a?3???a??25?5?0(a?3)(a?4)2?1?a?41??, 1?a0??00?当且仅当a??3,4或1 时，向量组α1,α2,α3,α4的秩为3, 从而推出α1,α2,α3是Ax=0的基础解系.）知识点参看第4章P107 第4章P168
56. 已知向量组（I） α1?(1,3,0,5)T, α2?(1,2,1,4)T, α3?(1,1,2,53)T与
向量组（II）β1?(1,?3,6,?1)T, β2?(a,0,b,2)T等价， 求a,b的值. （第4章 答案 a?1,b?3. 解法提示：由于?α1?2α2?α3,只需
考察α1,α2与β1,β2的互相线性表出问题. 作初等变换： ?1?3 [α1α2? β1,β2]???0??511a??1?0?1?6?3a???.?000b?3a???0002?2a??11a?11a??1?0?1?6?3a?2?30?????? ?0116b?6b????4?12?0?1?62?5a??方程组
x1α1?x2α2?β2有解
?b?3a?0???a?1,b?3.即（II）可由( I ) 线性表出的充分必?2?2a?0要条件是a?1,b?3.
?1??3α1α2]???6???1103213051?2??? 1??4? 反之，当a?1,b?3.时, [β1,β2?1?0 ???0??01300
16001?5??.方程组x1β1?x2β2?α1与x1β1?x2β2?α2均有解, 0??0?
说明(I)可由(II)线性表出, 所以(I)与(II)等价时, a?1,b?3.)知识点参看第4章P107 第4章P168
（五）证明题
57. 若已知
?a1?0 A??????00a2?0?0??0??, 其中 a?0i?????an?(i?1,2,?,n).
求证其逆矩阵
A?1?1?a?1?0??????0??n01a2?0?0???0?
?.???1???an???（证 因为 A??ai?0, 所以A?1存在. 又
i?1
?a1?0?????00a2?00??0???????an???1?a?1?0?????0??01a2?0?0???0???E,
???1???an????1?a?1?0 ?????0??01a2?0?0???a1??0??0?
??????1??0??an???0a2?0?0??0???E. ?????an?所以 A?1?1?a?1?0??????0??01a2?0?0???0??.） ???1???an????x1?2x2?x3?1,?58. 证明线性方程组 ?2x1?x2?2x3?2, 无解
?3x?x?3x?4.3?12?1211??,2?122 （ 证 方程组的增广矩阵为A????对A施行适当
??3134??的初等行变换，将其化成阶梯形矩阵，即