?1211??1211?r2?r1?(?2)??r?(?1)?0100?A0?500?2? r3?r1?(?3)?5????0?501???0?501???1211??,r3?r2?5?0100??
??0001??会求出A与A的秩，从而知r(A)?r(A).故方程组无解.）
59. 试证明向量 b=(3,5,6)可以用向量
a1?(1,0,1),a2?(1,1,1),a3?(0,?1,?1),
线性表示，并写出表示式.
（证 按定义，设存在数x1,x2,x3,使得
b?x1a1?x2a2?x3a3
成立. 为此，应解如下线性方程组
?x1?x2?3?x2?x3?5 ??x?x?x??6.23?1?x1??11?容易求得此方程组的唯一解为?x2?14
?x?9,?3故有 b??11a1?14a2?9a3.）
60. 证明f(x1,x2,x3)?3x12?6x1x3?x22?4x2x3?8x32是正定二次型. (证 因二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为
?3A???0??301?23??2??. 8??会写出A的各顺序主子式，并验证皆大于零.故由赫尔维茨 定理知 f(x1,x2,x3)是一个正定二次型. ) 61. 设 A=[aij]是n阶矩阵, 如果
aij>∑aij,i=1,2,?,n,
j≠i证明矩阵A的列向量αj=[a1j,a2j,?,anj]T(j=1,2,?,n)线性无关.
(第4章 答案：可用反证法. 若存在不全为零的数 k1,k2,?,kn, 使得
k1α1+k2α2+?+knαn=0,然后，设ki=max{k1,k2,?,kn},
显然ki>0. 由ki≠0,知 αi可以由其余n?1个 αj线性表出，且
αi??k1kkkα1???i?1αi?1?i?1αi?1???nαn. 那么, 其第i个分量就kikikikikkkk1ai1???i?1aii?1?i?1aii?1???nain.从而有 kikikiki满足关系式：aii??aii??j?ikjkiaij??j?ikjkiaij??j?iaij. 这与已知条件矛盾, 所以
α1,α2,?,αn 线性无关. )
62. 设A是n阶矩阵, α1,α2,?,αt是齐次方程组Ax=0的基础解
系, 若存在βi, 使Aβi=αi,i=1,2,?,t, 证明向量组
α1,α2,?,αt, β1,β2,?,βt 线性无关.
(第4章 答：若存在不全为零的数k1,k2,?,kt,l1,l2,?,lt, 使得
k1α1+k2α2+?+ktαt+l1β1+?+ltβt=0, （1） 用A左乘上式, 并把Aαi=0,Aβi=αi,i=1,2,?,t代入, 得
l1α1+l2α2+?+ltαt=0, （2）
因α1,α2,?,αt是齐次方程组Ax=0的基础解系, 它们线性无关, 故对（2）必有 l1=0,l2=0,?lt=0.（1）式, 有
k1α1+k2α2+?+ktαt=0,即向量α1,α2,?,αt,β1,β2,?,βt 线性无关. )
n矩阵,对矩阵A做初等行变换得到矩阵B,证明矩 63. 设A是m×阵A的列向量与矩阵B相应的列向量有相同的线性相关性. (第4章 证法提示： 因经初等行变换由A可得到B, 故存在初等矩阵P1,P2,?,Pk使Pk?P2P1A?B.把矩阵A,B写成列向量形式： A=[α1α2?αn], B=[β1β2?βn],P=Pk?P2P1则有 P[α1α2?αn]=[β1β2?βn],于是Pαi=βi(i=1,2,?,n).A的
?x??x?列向量αj1,αj2,?,αjk线性相关?[αj1,αj2,?,αjk]?2??0有非零解
??????xk??x??x??x??x?22?P[αj1,αj2,?,αjk]???0有非零解?[βj1βj2?βjk]???0
??????????x?k??xk?有非零解?B的列向量βj1βj2?βjk线性相关.）
64. 已知A是n阶矩阵, 且矩阵A中各行元素对应成比例.
α1,α2,?,αt是Ax=0的基础解系, 而β不是Ax=0的解. 证明任何一个n维向量都可由α1,α2,?,αt,β线性表出.
(第4章 答案提示：因为矩阵A中各行元素对应成比例, 故 r(A)=1,因此t=n?1.因为α1,α2,?,αn?1是Ax=0的基础解系,故 α1,α2,?,αn?1线性无关. 若
k1α1+k2α2+?+kn?1αn?1?s??0,
用A左乘, 并把Aαi=0(i=1,2,?,n?1.）代入上式, 得 sAβ=0. 由于Aβ≠0, 故s=0, 于是
k1α1+k2α2+?+kn?1αn?1?0.
从而k1=0,k2=0,?,kn?1?0,s?0,即有α1,α2,?,αn?1,? 线性无关，故知任一n维向量 γ必可由α1,α2,?,αt,β线性表出.k1=0,k2=0,?,kn?1?0,s?0,) 65. 已知向量组α1,α2,?,αt线性无关, 若
β=k1α1+k2α2+?+ktαt，
其中至少有ki≠0, 证明用β替换αi后所得向量组 α1,α2,?,αi-1，β,αi+1,?,αt 线性无关.
(第4章 答案提示：如果
h1α1+h2α2+?+hi?1αi-1+hβ?hi?1αi+1+??htαt=0. 将已知条件β=k1α1+k2α2+?+ktαt代入, 并整理有 (h1+hk1)α1+(h2+hk2)α2+?+(hi?1?hki?1)αi-1+ hkiαi
?(hi?1?hki?1)αi+1+??(ht?hkt)αt=0. 由于已知向量组α1,α2,?,αt线性无关, 故必有 (h1+hk1)=0,(h2+hk2)=0,?,(hi?1?hki?1)?0，
hki= 0，(hi?1?hki?1)?0,?,
(ht?hkt)?0.
由于ki≠0, hki?0 知h?0, 进而必有h1=0,h2=0,?,ht?0. 所以向量组α1,α2,?,αi-1，β,αi+1,?,αt线性无关.)