考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优
化问题举例
一、选择题
exe2?.1. （2013·辽宁高考理科·Ｔ12）设函数f(x)满足xf?(x)?2xf(x)?,f(2)x82则x>0时,f(x)（ ）
A.有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值 C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也无极小值
【解题指南】结合题目条件，观察式子的特点，构造函数，利用导数研究极值问题。
ex2f(x)ex-2x2f(x)【解析】选D.由题意知f￠， (x)=3-=xxx3令g(x)=ex-2x2f(x),则g'(x)=ex-2x2f'(x)-4xf(x)=ex-2(x2f￠(x)+2xf(x))2ex2=e-=ex(1-).xxx
由g￠(x)=0得x=2,当x=2时,
g(x)min=e-2创222e2=0 8xg(x)(x)=3 0, 即g(x)30,则当x>0时,f￠故f(x)在(0,+∞)上单调递增,既无极大值也无极小值.
2. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ12）与（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ11）相同
??x2?2x,x?0已知函数f(x)?? ，若|f(x)|?ax，则a的取值范围是（ ）
?ln(x?1),x?0A.(??,0] B. (??,1] C. [?2,1] D. [?2,0]
【解题指南】先结合函数画出函数y=|f(x)|的图象，利用|f(x)|在(0,0)处的切线为制定参数的标准.
【解析】选D.画出函数y=|f(x)|的图象如图所示,当x?0时，g(x)?|f(x)|?x2?2x，
g?(x)?2x?2，g?(0)??2，故a??2.
当x?0时，g(x)?|f(x)|?ln(x?1)，g?(x)?1 x?1由于g(x)上任意点的切线斜率都要大于a，所以
a?0，综上?2?a?0.
3. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ11）与(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T10)相同
设已知函数f(x)?x3?ax2?bx?c，下列结论中错误的是（ ） A.?x0?R，f(x0)?0
B.函数y?f(x)的图象是中心对称图形
C.若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(??,x0)单调递减 D.若x0是f(x)的极值点，则f?(x0)?0
【解析】选C.结合函数与导数的基础知识进行逐个推导.
A项,因为函数f(x)的值域为R,所以一定存在x0∈R,使f(x0)=0,A正确.B项,假设函数f(x)=x3+ax2+bx+c的对称中心为(m,n),按向量a?(?m,?n)将函数的图象平移,则所得函数y=f(x+m)-n是奇函数,所以f(x+m)+f(-x+m)-2n=0,化简得(3m+a)x2+m3+am2+bm+c-n=0.上式对x∈R恒成立,故3m+a=0,得m=-,n=m3+am2+bm+c=f错误！未找到引用源。,所以函数f(x)=x3+ax2+bx+c的对称中心为错误！未找到引用源。,故y=f(x)的图象是中心对称图形,B正确.C项,由于f?(x)=3x2+2ax+b是二次函数,f(x)有极小值点x0,必定有一个
a3
极大值点x1,若x1 4.（2013·安徽高考文科·Ｔ10）已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1， x2，若fx则关于x的方程3(f(x))2+2a的不同实根个数是 ( ) (1)=x1x<2，f(x)+b=0A.3 B.4 C. 5 D.6 【解题指南】先求函数的导函数,由极值点的定义及题意,得出f(x)=x1或f(x)=x2,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数. 【解析】选A。因为f'(x)=3x2+2ax+b，函数的两个极值点为x1,x2，所以的两根，所以解方程f?(x1)?0,f?(x2)?0，所以x1,x2是方程3x2+2ax+b=03(f(x))2+2af(x)+b=0得f(x)?x1或f(x)?x2，由上述可知函数 f(x)在(- ∞,x1),(x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减.又f(x1)=x1 数形结合可知f(x)=x1有两个不同实根,f(x)=x2有一个实根,所以不同实根的个数为3. 5.（2013·安徽高考理科·Ｔ10）若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f(x1)=x1，则关于x的方程3(f(x))2+2a的不同实根个数是 ( ) f(x)+b=0A.3 B.4 C. 5 D.6 【解题指南】先求函数的导函数,由极值点的定义及题意,得出f(x)=x1或f(x)=x2,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数. 【解析】选A。因为f'(x)=3x2+2ax+b，函数的两个极值点为x1,x2，所以 f?(x1)?0,f?(x2)?0 ，所以x1,x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，所以解方程3(f(x))2+2af(x)+b=0得f(x)?x1或f(x)?x2，不妨设 x1 (-∞,x1),(x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减.又f(x1)=x1 数形结合可知f(x)=x1有两个不同实根,f(x)=x2有一个实根,所以不同实根的个数为3. 6.（2013·湖北高考理科·Ｔ10）已知a为常数，函数f(x)?x?lnx?ax?有两个极值点x1,x2(x1?x2)，则（ ） 11f(x)?0,f(x)??2 A. 1 B. f(x)?0,f(x)??122211f(x1)?0,f(x2)?? C. 2 D. 2 1f'(x)?lnx?ax?x(?a)?lnx?1?2ax(x?0)【解析】选D. ，令f'(x)?0，由题意可xf(x1)?0,f(x2)??得lnx?2ax?1有两个实数解x1,x2?函数g(x)=lnx+1-2ax有且只有两个零点 ?g(x)在(0,+∞)上的唯一的极值不等于0, g'(x)=错误！未找到引用源。 -2a= 1?2ax, 错误！未找到引用源。. x①当a≤0时,g?(x)>0, f?(x)单调递增, 因此g(x)= f?(x)至多有一个零点,不符合题意,应舍去. ②当a>0时,令g?(x)=0,解得x=因为x?(0,x?(1, 2a1?(x)),g?，0,函数g(x)单调递增; 2a1,??)时，g?(x)?0，错误！未找到引用源。函数g(x)单调递减. 2a 所以x=错误！未找到引用源。是函数g(x)的极大值点,则g错误！未找到引用源。>0, 即ln错误！未找到引用源。+1-1=-ln(2a)>0, 所以ln(2a)<0, 所以0<2a<1,即0 因为0 则f(x1)=x1(lnx1-ax1)=x1(2ax1-1-ax1) =x1(ax1-1)<错误！未找到引用源。 f(x2)=x2(lnx2-ax2)=x2(ax2-1)>1×??a??11?1???1?????1?. 2a?2?2a?f(x)?ex?x?2,g(x)?lnx?x2?3. 若实数 127. （2013·天津高考文科·Ｔ8）设函数 a, b满足f(a)?0,g(b)?0, 则 （ ） A. g(a)?0?C. 0?g(a)?f(b) B. f(b)?0?g(a) f(b) D. f(b)?g(a)?0 f(a?)0g,?b(【解题指南】先由确定a,b的大小，再结合 f(x)?ex?x?2,g(x)?lnx?x2?3的单调性进行判断. 【解析】选A. 因为的，由 f?(x)?ex?1?0,所以f(x)?ex?x?2在其定义域内是单调递增 f(a)?0知0?a?1,又因为x?0，g?(x)?12?3在(0,??)上?2x?0，故g(x)?lnx?xxf(a)?f(b)，因此 也是单调递增的，由 g(b)?0知1?b?2，所以g(a)?g(b)?0，0?g(a)?0?f(b)。 8.(2013·浙江高考理科·T8)已知e为自然对数的底数,设函数