f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则 ( ) A.当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值 B.当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值 C.当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值 D.当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值
【解题指南】当k=1,2时,分别验证f'(1)=0是否成立,根据函数的单调性判断是极大值点还是极小值点.
【解析】选C.当k=1时,f′(x)=ex(x-1)+ex-1,此时f'(1)≠0,故排除A,B;当k=2时,f'(x)=ex(x-1)2+(ex-1)(2x-2),此时f'(1)=0,在x=1附近左侧,f'(x)<0,在x=1附近右侧,f'(x)>0,所以x=1是f(x)的极小值点. 9.(2013·浙江高考文科·T8)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f'(x)的图象如图所示,则该函数的图象是 ( )
【解题指南】根据导数的性质来判断函数的性质.
【解析】选B.因为f'(x)>0(x∈(-1,1)),所以f(x)在(-1,1)为增函数,又x∈(-1,0)时,f'(x)为增函数,x∈(0,1)时,f'(x)为减函数,所以选B. 10. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ10）
已知曲线y?x4?ax2?1在点?-1，a?2?处切线的斜率为8，a=（ ）
A.9 B.6 C.-9 D.-6
【解题指南】先对函数求导，将x=-1代入到导函数中即可求出a的值. 【解析】选D.由题意可知，点(?1,a?2)在曲线上，因为y??4x3?2ax，则
4?(?1)3?2a?(?1)?8，解得a??6
二、填空题
11. （2013·广东高考文科·Ｔ12）若曲线y=ax2-lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a= .
【解题指南】本题考查导数的几何意义、直线的斜率、直线平行等知识,可先求导.
1x1处切线的斜率为y?x?1?2a?1?0,解得a?.
21【答案】.
2【解析】对y=ax2-lnx求导得y??2ax?,而x轴的斜率为0,所以在点(1,a)
12. （2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ16）若函数f(x)?(1?x2)(x2?ax?b)的图像关于直线x??2对称，则f(x)的最大值为_______.
【解题指南】首先利用数f(x)的图像关于直线x??2对称求出a,b的值，然后利用导数判断函数的单调性，这里要采用试根的的方法对导函数进行因式分解.
【解析】因为函数f(x)的图像关于直线x??2对称，所以f(0)?f(?4)，得
4b??60?15a，又f?(x)??4x3?3ax2?2(1?b)x?a，
而f?(?2)?0，?4?(?2)3?3a(?2)2?2(1?b)?(?2)?a?0.
?4b??60?15a11a?4b?28得即?，解得a?8，b?15.
?11a?4b?28故f(x)?(1?x2)(x2?8x?15)，
则f?(x)??4x3?24x2?28x?8??4(x3?6x2?7x?2)
??4(x?2)(x2?4x?1)
令f?(x)?0，即(x?2)(x2?4x?1)?0，则x??2或x??2?5或?2?5. 当x变化时，f?(x)，f(x)的变化情况如下表：
f(?2?5)?[1?(?2?5)2][(?2?5)2?8?(?2?5)?15]?(?45?8)(8?45)?16 f(?2?5)?[1?(?2?5)2][(?2?5)2?8?(?2?5)?15]?(45?8)(8?45)?16
故f(x)的最大值为16. 【答案】16 三、解答题
13. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ21）已知函数f?x?=x3?3ax2?3x?1. （I）求a??2时，讨论f?x?的单调性;； （II）若x??2,???时，f?x??0,求a的取值范围.
【解析】（I）当a??2时，f(x)?x3?32x2?3x?1，
f?(x)?3x2?62x?3.
令f?(x)?0，得x1?2?1，x2?2?1.
当x?(??,2?1)时，f?(x)?0，f(x)在(??,2?1)是增函数； 当x?(2?1,2?1)时，f?(x)?0，f(x)在(2?1,2?1)是减函数； 当x?(2?1,??)时，f?(x)?0，f(x)在(2?1,??)是增函数. （II）由f(2)?0得a??.
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当a??，x?(2,??)时，
f?(x)?3(x2?2ax?1)?3(x2?15x?1)?3(x?)(x?2)?0，
2254所以f(x)在(2,??)是增函数，于是当x?(2,??)时，f(x)?f(2)?0. 综上，a的取值范围是[?,??).
14. （2013·江苏高考数学科·Ｔ20）设函数f(x)?lnx?ax，g(x)?ex?ax，其中a为实数。
（1）若f(x)在(1,??)上是单调减函数，且g(x)在(1,??)上有最小值，求a的取值范围；
（2）若g(x)在(?1,??)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论。
【解题指南】(1)先对f(x)=lnx-ax求导,利用条件f(x)在(1,+∞)上是单调减函数求出a的范围,再利用g(x)在(1,+∞)上有最小值求出a的范围,两者取交集.(2)注意函数方程不等式间的相互转化. 【解析】(1)令f?(x)??a?1x1?ax?0,考虑到f(x)的定义域为(0,+∞),故a>0,x54进而解得x>a-1,即f(x)在(a-1,+∞)上是单调减函数.同理,f(x)在(0,a-1)上是单调增函数.由于f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,故(1,+∞)?(a-1,+∞),从而a-1≤1,即a≥1.令g'(x)=ex-a=0,得x=lna.当x
(2)当a≤0时,g(x)必为单调增函数;当a>0时,令g?(x)=ex-a>0,
解得a (i)当a=0时,由f(1)=0以及f?(x)?1>0,得f(x)存在唯一的零点. x(ii)当a<0时,由于f(ea)=a-aea=a(1-ea)<0,f(1)=-a>0,且函数f(x)在[ea,1]上的图象不间断,所以f(x)在(ea,1)上存在零点. 另外,当x>0时,f?(x)??a?0,故f(x)在 x (0,+∞)上是单调增函数,所以f(x)只有一个零点. (iii)当00,当x>a-1时, f?(x)<0,所以,x=a-1是f(x)的最大值点,且最大值为f(a-1)=-lna-1. ①当-lna-1=0,即a=e-1时,f(x)有一个零点x=e. ②当-lna-1>0,即0 实际上,对于00,且函数f(x)在[e-1,a-1]上的图象连续,所以f(x)在(e-1,a-1)上存在零点.另外,当 x∈(0,a-1)时,f'(x)=?a>0,故f(x)在(0,a-1)上是单调增函数,所以f(x)在(0,a-1)上只有一个零点. 下面考虑f(x)在(a-1,+∞)上的情况,先证f(错误！未找到引用源。)=a(a-2-错误！未找到引用源。)<0.为此, ?(x) 我们要证明:当x>e时,ex>x2.设h(x)=ex-x2,则h?(x)=ex-2x,再设l(x)?h1x1=ex-2x,则l?(x)=ex-2. 当x>1时, l?(x)=ex-2>e-2>0,所以l(x)?h?(x)在(1,+∞)上是单调增函数.故当x>2时,h?(x) =ex-2x>h?(2) =e2-4>0,从而h(x)在(2,+∞)上是单调增函数,进而当x>e时,h(x)=ex-x2>h(e)=ee-e2>0.即当x>e时,ex>x2. 当0e时，f(错误！未找到引用源。)=a(a-2-错误！未找到引用