??b?b2?8a??,???. ??4a??(Ⅱ) 由a?0，且对于任意x?0， f(x)?f(1)，则函数f?x?在x?1处取得最小值，
?b?b2?8a由（Ⅰ）知，是f?x?的唯一的极小值点，
4a?b?b2?8a故?1，整理得
4a2a?b?1即b?1?2a.
令g?x??2?4x?lnx， 则g??x??1?4x x14令g??x??0,得x?，
当0?x?时，g??x??0,g?x?单调递增； 当x?时，g??x??0,g?x?单调递减.
1?1因此g?x??g????1?ln?1?ln4?0，
?4?41414故g?a??0，即2?4a?lna?2b?lna?0， 即lna??2b
29. （2013·陕西高考理科·Ｔ21）已知函数
f(x)?ex,x?R.
(1) 若直线y＝kx＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值; (2) 设x>0, 讨论曲线y＝f (x) 与曲线y?mx2(m?0) 公共点的个数. (3) 设a f(a)?f(b)与f(b)?f(a)的大小, 并说明理由. 2b?a【解题指南】利用导数的几何意义，可求解；分析清楚函数的单调性及极值，讨论确定曲线y＝f (x) 与曲线y?mx2(m?0) 公共点的个数；作差后构造新函数，利用函数的单调性进行大小比较. 【解析】(1) f (x)的反函数g(x)?lnx. 设直线y＝kx＋1与g(x)?lnx相切于 ?kx0?1?lnx0?22?2点P(x0，y0)，则?1?x0?e,k?e 。所以k?e ??k?g'(x0)?x0?(2)当 x > 0，m > 0 时， 曲线y＝f (x) 与曲线y?mx2(m?0) 的公共点个数即方程f(x)?mx2 根的个数。 exexxex(x?2)由f(x)?mx?m?2,令h(x)?2?h'(x)?， 4xxx2则 h(x)在(0,2)上单调递减，这时h(x)?(h(2),??); e2h(x)在(2,??)上单调递增. ,这时h(x)?(h(2),??).h(2)?4 h(2)是y?h(x)的极小值且是最小值。所以对曲线y＝f (x) 与曲线y?mx2(m?0) 公共点的个数，讨论如下： e2e2e2（，??）当m ?(0,)时,有0个公共点；当m= 时,有1个公共点；当m ?444时有2个公共点. (3) f(a)?f(b)f(b)?f(a)(b?a?2)?f(a)?(b?a?2)?f(b)?? 2b?a2?(b?a)(b?a?2)?ea?(b?a?2)?eb(b?a?2)?(b?a?2)?eb?aa???e 2?(b?a)2?(b?a)令t(x)?x?2?(x?2)?ex,x?0,则t'(x)?1?(1?x?2)?ex?1?(x?1)?ex。 t'(x)的导函数t''(x)?(1?x?1)?ex?x?ex?0,所以t'(x)在（0，??）上单调递增， 且t'(0)?0.因此t'(x)?0，t(x)在(0,??)上单调递增,而t(0)?0, 所以在(0,??)上t(x)?0。 因为当x?0时，t(x)?x?2?(x?2)?ex?0且a?b, (b?a?2)?(b?a?2)?eb?aa所以?e?0 2?(b?a) 所以当a 【解题指南】(1)求导，然后将x?0代入导函数，求得m，讨论分析导函数的符号，得单调性. (2)求f?x?的最小值f?x0?，证明最小值f?x0??0即可. 【解析】(1)因为f??x??ex?11，x?0是f?x?的极值点，所以f??0??1??0，x?mm解得m?1,所以函数f?x??ex?ln?x?1?，其定义域为??1,???，因为 ex?x?1??11f??x??e??, x?1x?1x设g?x??ex?x?1??1,则g'?x??ex?x?1??ex?0，所以g?x?在??1,???上是增函数，又因为g?0??0，所以当x?0时，g?x??0，即f??x??0，当?1?x?0时，g?x??0， f??x??0，所以f?x?在??1,0?上是减函数，在?0,???上是增函数. (2)当m?2，x???m,???时，ln?x?m??ln?x?2?，故只需证明当m?2时，f?x??0. 当m?2时，函数f??x??ex?1在??2,???单调递增. x?2由f???1??0,f??0??0，故f??x??0在??2,???上有唯一实根x0，且x0???1,0?. 当x???2,x0?时，f??x??0；当x??x0,???时，f??x??0，从而当x?x0时，f?x?取得最小值.由f??x0??0得 ex?01,ln?x0?2???x0, x0?22?x0?1??01fx?fx??x?故??. ?0?0x0?2x0?2综上，当m?2时，f?x??0. 31. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ21）已知函数f(x)?x2e?x。 （1）求f(x)的极小值和极大值； （2）当曲线y?f(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围。 【解题指南】（1）求导函数f??x?，令f??x??0求极值点，列表求极值. (2)设切线，表示出切线l的方程，令y?0得l在x轴上的截距，利用函数知识求得截距的取值范围. 【解析】(1) f??x??e?x??x2?2x?,令f??x??0得x?0或2. 列表如下 x f??x? ???,0? ? 0 0 （0,2） ? 2 0 ?2,??? ? f?x? 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数 函数f?x?的极小值为f?0??0，极大值为f?2?＝ 004. e2(2)设切点为?x0,x02e?x?，则切线l的斜率为k?e?x??x02?2x0? 此时切线l的方程为y?x02e?x?e?x??x02?2x0??x?x0? 00令y?0，得x?x?x0?x0. x0?22?x0?2?3， x0?2令?h?tt?2（t0） ，则当t∈(0,+∞)时,h(t)t(?)0,,2(,)()??由已知和（1）得x0??的取值范围为[22,??)；当t∈(-∞,-2)时,h(t)的取值范围是(-∞,-3),所以当x0∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,x的取值范围是(-∞,0)∪[22?3,??),综上,l在x轴上的截距的取值范围是(-∞,0)∪[22?3,??). 32. （2013·辽宁高考文科·Ｔ21） (?)证明：当x??0,1?时， 2x?sinx?x； 2x3(??)若不等式ax?x??2(x?2)cosx?4对x?[0,1]恒成立，求实数a的取值范围。 22【解题指南】构造函数，利用函数的单调性证明不等式；利用已知的不等式恰当地放缩，将复杂的不等式转化为简单的不等式 【解析】(?)记F(x)?sinx?22． x，则F?(x)?cosx?222?2???当x??时，F(x)?cosx??cos??0， 0,???4?242则F(x)?sinx??2???x在x??0,?上是增函数，所以F(x)?F(0)?0； 2?4?222?当x?????0， ,1??时，F?(x)?cosx?2224??则F(x)?sinx?2???x在x??,1?上是减函数， 2?4?2?2?sin??0 2422x； 2所以F(x)?F(1)?sin1?故当x??0,1?时，F(x)?0，即sinx?记H(x)?sinx?x，则当x??0,1?时，H?(x)?cosx?1?0 所以H(x)?sinx?x在x??0,1?上是减函数，则H(x)?H(0)?0 即H(x)?sinx?x?0，sinx?x 综上，当x??0,1?时， (??)由(?)可知，sin2x?sinx?x； 2x2x2x??， 222412当x??0,1?时，ax?x2?x3?2(x?2)cosx?4