（1）若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切，求a与b的值。 （2）若曲线y=f(x)与直线y=b 有两个不同的交点，求b的取值范围。 【解题指南】（1）把已知条件转化为f'(a)?0,f(a)?b； （2）转化为y=f(x)的极值与b的关系。 【解析】（1）f'(x)?2x?xcosx?x(2?cosx)，
由线y?f(x)在(a,f(a))处的切线为y?b，因此，f'(a)?0,f(a)?b， 于是2a?acosa?0且a2?asina?cosa?b， 解得a?0,b?1。
（2）由（1）知f'(x)?x(2?cosx)，于是当x?0时，f(x)单调递增，当x?0时，
f(x)单调递减，当x?0时，f(x)取得极小值1.
因此b的取值范围为(1,??)。
20.(2013·福建高考理科·T17)已知函数f(x)=x-alnx(a∈R) (1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程. (2)求函数f(x)的极值.
【解题指南】对函数求导,根据导数即切线斜率,求出切线方程,欲求极值,先求单调性,要注意对参数a进行讨论.
【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1-错误！未找到引用源。. (1)当a=2时,f(x)=x-2lnx,f′(x)=1-错误！未找到引用源。(x>0), 所以f(1)=1,f'(1)=-1,
所以y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1), 即x+y-2=0. (2)由f′(x)= 1??axx?a,x>0可知: x①当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;
②当a>0时,由f'(x)=0,解得x=a;
因为x∈(0,a)时,f'(x)<0,x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,
所以f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-alna,无极大值. 综上:当a≤0时,函数f(x)无极值,
当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值. 21.(2013·福建高考理科·T20)已知函数
f(x)?sin(wx??)(w?0,0????)的周期为
π,图象的一个对称中心为错误！未找到引用源。,将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向右平移?个
2单位长度后得到函数g(x)的图象. (1)求函数f(x)与g(x)的解析式.
???(2)是否存在x0???,?,使得f(x0),g(x0),
?64?f(x0)g(x0)按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定x0的个数,若不存在,说明理由.
(3)求实数a与正整数n,使得F(x)=f(x)+ag(x)在错误！未找到引用源。内恰有2 013个零点.
【解析】(1)由函数f(x)=sin(ωx+?)的周期为π,ω>0,得ω=2, 又曲线y=f(x)的一个对称中心为错误！未找到引用源。,?∈(0,π), 故f()?sin(2???)?0,得?=错误！未找到引用源。,所以f(x)=cos 2x.
44??将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y=cos x的图象,再将y=cosx的图象向右平移错误！未找到引用源。个单位长度后得到函数g(x)=sin x.
(2)当x∈错误！未找到引用源。时,错误！未找到引用源。
12,0 22所以sinx>cos2x>sinxcos2x. 问题转化为方程2cos 2x=sin x+sin xcos 2x在错误！未找到引用源。内是否有解, 设G(x)=sin x+sinxcos 2x-2cos 2x,x∈错误！未找到引用源。, 则G'(x)=cos x+cos xcos 2x+2sin 2x(2-sin x). 因为x∈错误！未找到引用源。,所以G′(x)>0,G(x)在错误！未找到引用源。内单调递增. 又G()???0，G()?6?14?42?0. 2且函数G(x)的图象连续不断,故可知函数G(x)在错误！未找到引用源。内存在唯一零点x0, 即存在唯一的x0?(,)满足题意. 64??(3)依题意,F(x)=asin x+cos 2x,令F(x)=asin x+cos 2x=0, 当sin x=0,即x=kπ(k∈Z)时,cos 2x=1,从而x=kπ(k∈Z)不是方程F(x)=0的解,所以方程F(x)=0等价于关于x的方程a??现研究x∈(0,π)∪(π,2π)时方程解的情况, 令h(x)??cos2x,x∈(0,π)∪(π,2π), sinxcos2x,x≠kπ(k∈Z), sinx则问题转化为研究直线y=a与曲线y=h(x)在x∈(0,π)∪(π,2π)的交点情 cosx(2sin2x?1)?3?x?x?况,h?(x)?,令h′(x)=0,得或. 222sinx 当x变化时,h(x)和h′(x)变化情况如下表 x (0,) 2?? 2(,?) 2?(?,3?) 23? 2(3?,2?) 2 h?(x) h(x) ? Z 0 ? ] ? ] 0 ? Z 1 ?1 当x>0且x趋近于0时,h(x)趋向于-∞, 当x<π且x趋近于π时,h(x)趋向于-∞, 当x>π且x趋近于π时,h(x)趋向于+∞, 当x<2π且x趋近于2π时,h(x)趋向于+∞, 故当a>1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,π)内无交点,在(π,2π)内有2个交点; 当a<-1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,π)内有2个交点,在(π,2π)内无交点; 当-1 由函数h(x)的周期性,可知当a≠±1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,nπ)内总有偶数个交点,从而不存在正整数n,使得直线y=a与曲线y=h(x)在(0,nπ)内恰有2013个交点;当a=±1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,π)∪(π,2π)内有3个交点,由周期性,2 013=3×671,所以n=671×2=1 342. 综上,当a=±1,n=1 342时,函数F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ)内恰有2 013个零点. 22.（2013·福建高考文科·Ｔ22）已知函数f(x)?x?1?对数的底数）. （I）若曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求a的值; （II）求函数f(x)的极值; a（a?R,e为自然xe （III）当a?1时,若直线l:y?kx?1与曲线y?f(x)没有公共点,求k的最大值. 【解题指南】对函数求导，根据导数即切线斜率，知切线斜率为0，欲求极值，先求单调性，要注意对参数a进行讨论。 【解析】方法一：（Ⅰ）由f?x??x?1?aa?fx?1?，得． ??xxee又因为曲线y?f?x?在点?1,f?1??处的切线平行于x轴， aea（Ⅱ）f??x??1?x， e得f??1??0，即1??0，解得a?e． ①当a?0时，f??x??0，f?x?为R上的增函数，所以函数f?x?无极值． ②当a?0时，令f??x??0，得ex?a，x?lna． x????,lna?，f??x??0；x??lna,???，f??x??0． 所以f?x?在???,lna?上单调递减，在?lna,???上单调递增， 故f?x?在x?lna处取得极小值，且极小值为f?lna??lna，无极大值． 综上，当a?0时，函数f?x?无极小值； 当a?0，f?x?在x?lna处取得极小值lna，无极大值． 1 xe1令g?x??f?x???kx?1???1?k?x?x， e（Ⅲ）当a?1时，f?x??x?1?则直线l：y?kx?1与曲线y?f?x?没有公共点， 等价于方程g?x??0在R上没有实数解． 假设k?1，此时g?0??1?0，g??1?1??1??0， ?1k?1??ek?1又函数g?x?的图象连续不断，由零点存在定理，可知g?x??0在R上至少有一解，与“方程g?x??0在R上没有实数解”矛盾，故k?1． 又k?1时，g?x?? 1?0，知方程g?x??0在R上没有实数解． ex