下表列明了质数之间相互是否为二次剩余的情况。方格内为R表示对应的q（横列元素）为对应的p（竖列元素）的二次剩余，N则表示相反情况（此表示法由高斯创造）。可以看到白格内的元素是关于对角线对称的，黄格内则关于对角线反对称。可以说黄格代表了一种“特殊情况”[3]。
q
3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97
3 N R N R N R N N R R N R N N N R R N R R N N R
5 N N R N N R N R R N R N N N R R N R N R N R N
7 N N R N N N R R N R N R N R N N R R N R N N N
11 R R N N N N R N R R N N R R R N R R N N N R R
13 R N N N R N R R N N N R N R N R N N N R N N N
p 17 N N N N R R N N N N N R R R R N R N N N R R N
19 N R R R N R R N N N N R R N N R N N R N R N N
23 R N N N R N N R R N R N R N R N N R R N N N N
29 N R R N R N N R N N N N N R R N R R N N R N N
31 N R R N N N R N N N R N R N R N R R N N N N R
37 R N R R N N N N N N R N R R N N R R R N R N N
41 N R N N N N N R N R R R N N R R N N R N R N N
43 N N N R R R N R N R N R R R R N R N N R R N R
47 R N R N N R N N N N R N N R R R N R N R R R R
53 N N R R R R N N R N R N R R R N N N N N N R R
59 R R R N N R R N R N N R N N R N N R N R N N N
61 R R N N R N R N N N N R N R N N N N R N R N R
67 N N N N N R R R R N R N N R N R N R R N R R N
71 R R N N N N R N R N R N R N N N N N R R R R N
73 R N N N N N R R N N R R N N N N R R R R N R R
79 N R N R R N R R N R N N N N N N N R N R R R R
83 R N R R N R N R R R R R N N N R R N N N N N N
89 N R N R N R N N N N N N N R R N N R R R R N R
97 R N N R N N N N N R N N R R R N R N N R R N R
[编辑] 勒让德的叙述
观察上表中黄格的情况，可以看出相对应的两个质数都是模4余3的。因此勒让德的陈述为：
如果 或者 可解当且仅当
那么
可解。
如果 那么 可解当且仅当
不可解。
[编辑] 研究历史
二次互反律曾被不少的数学家研究，因此二次互反律的叙述有很多种。要注意的是当时的数学记号并不统一。欧拉和勒让德并没有高斯的同余记号，高斯也不知道勒让德符号。
下文中的p和q总是不相等的正奇质数。
[编辑] 前期探索
费马曾经证明了[4]（或声称证明了[5]）一系列关于将质数表示成平方和的定理
当且仅当 p = 2 或
p = x2 + 2y2 当且仅当 p = 2 或 p = x2 + 3y2 当且仅当 p = 3 或
他并没有给出二次互反律的陈述，尽管由此类的定理可以得到–1、±2和±3的情况。
此外欧拉曾经猜想（后被勒让德证明）[6] ：
如果如果
那么
那么 pq = x2 + 5y2.
证明费马的这类命题是导致二次互反律的发现的因素之一。
[编辑] 定理的首次叙述：欧拉
欧拉在1783年曾经写过[7]（以现今的符号表示）：
1) 如果 q ≡ 1 (mod 4) 那么q是模p的二次剩余当且仅当p ≡ r (mod q)，其中r是一个模q的二次剩余。
2) 如果 q ≡ 3 (mod 4) 那么q是模p的二次剩余当且仅当p ≡ ±b2 (mod 4q), 其中b为奇数但不被q整除。
这是二次互反律首次被完整地陈述[8]。欧拉也证明了[9] 2的情况。
[编辑] 勒让德与他的符号
勒让德用a和A表示模4余1的正质数，用b和B表示模4余3的正质数。他建立了一个有8个定理的表格，这8个定理合起来就是二次互反律[10]。
定理 如果 则有 I II III IV V VI VII VIII
勒让德认为表达式
出现了太多次，可以简写为：
其中N、c为互质的数[11]。
这个符号就是现在使用的勒让德符号[12]： 对于所有的整数a以及任意奇质数p：
如果p整除a；
如果a是模p的二次剩余且p不整除a 如果a是模p的二次非剩余。
. ； .
.
勒让德使用勒让德符号的叙述为：