，如果 ，如果
他也提到上面的两种情况可以合并为：
或
勒让德完整地证明了八种情况中的第一、第二和第七种。在证明第八种情况时，勒让德作了一个可以等价于狄利克雷定理的假设。正如高斯在其《算术研究》中指出的。勒让德实际上证明了二次互反律是狄利克雷定理成立的情况下的一个推论[13]。
[编辑] 首次的证明：高斯
1801年出版的《算术研究》第131篇的部分，列出了二次互反律的8种情况
第一个完整地给出二次互反律的证明的人是德国数学家高斯。高斯在1796年给出了二次互反律的第一个证明[14]。高斯首先证明了[15] -1和2的情况。作为进行数学归纳法的开始，他证明了[16]±3和±5的情况。他注意到-3和+5的情况较有规律，容易叙述[17]，因此把定理叙述为[18]：
如果 p 是形式为4n + 1，那么 p（如果 p 是形式为4n + 3那么 ? p）是模每个为模p的二次剩余（非剩余）的质数的二次剩余（非剩余）。
在下一句中，高斯将其列为“基本定理”（但没有用到“互反律”的称谓）。 在引进
（
）表示a是模b的二次剩余（非剩余）后，高斯令a和表
示模4余1的质数，用b和表示模4余3的，于是写出了勒让德得到的8种情况：
情况 如果 那么 1) ±a R a′ ±a′ R a 2) ±a N a′ ±a′ N a 3) +a R b –a N b ±b R a 4) +a N b –a R b ±b N a 5) ±b R a +a R b –a N b 6) ±b N a +a N b –a R b 7) +b R b′ –b′ N b –b N b′ +b′ R b 8) –b N b′ +b′ R b +b R b′ –b′ N b 在接下来的文章中他将其推广到关于所谓的雅可比符号，以下的大写字母表示的意思和相应的小写字母一样，但不再是质数。
情况 如果 那么
9) ±a R A ±A R a
10) ±b R A
+A R b –A N b
11) +a R B ±B R a
12) –a R B ±B N a
13) +b R B
–B N b +N R b
14) –b R B
+B R b –B N b
最后他分各种情况分别运用强数学归纳法将其证明[19]。 证明中高斯用到了[20]一个引理：
如果 是质数，那么存在奇质数 使得
如果使用勒让德符号，那么高斯的陈述就是
令那么
，也就是说 | q * | = | q | 且
。
高斯一生中给出了二次互反律的八个证明，其中他最为满意的是第五个证明。
[编辑] 其它陈述
[编辑] 欧拉
如果
[编辑] 艾森斯坦
那么
[21]
艾森斯坦[22]曾声称：
如果
并且
那么
[编辑] 莫德尔
莫德尔[23]证明了以下命题与二次互反律等价：
令 a,b和 c 为整数，那么对每个整除 abc 的质数p有： 如果
有一个非平凡解，那么
也有。
[编辑] 关于雅可比符号的互反律
雅可比符号是勒让德符号的一个推广，与后者主要的区别是“分母”只需为正奇数，而不需要一定是质数。当“分母”为质数时，两者意义相同。雅可比符号的运算规律与勒让德符号相同，即：
如果两个数都是正奇数，那么二次互反律对雅可比符号也成立：
然而，当雅可比符号为+1，“分母”为合数时，“分子”不一定是“分母”的二次剩余。高斯的第九至十四种情况可以被表示为：
由于p为质数，上式左边是勒让德符号，于是我们可以知道M是否是模p的剩余。
以上各节的公式对雅可比符号仍然成立。欧拉的公式可以写作：