其中n为整数，举例来说：
2是模7、23、31的剩余，但2是
模5的非剩余，因此也不是模15的。这与勒让德提出过的一个问题有关：若已知
，我们知道a是模m + 4a、m + 8a、??中所有质数的非剩余，
如果这种质数存在的话。但此种质数的存在性直到数十年后才由狄利克雷证明。 艾森斯坦的公式则需要两数互质才能成立： 如果a,b,a',b' 是正奇数，且 gcd(a,b) = gcd(a',b') = 1，那么 如果
且
，则
[编辑] 使用希尔伯特符号的互反律
二次互反律也可以用希尔伯特符号：(a,b)v 来叙述。其中a、b是两个非零的有理数，v则可代表任意非平凡的有理数绝对值（p的常用的或p进的绝对值）。希尔伯特符号：(a,b)v 的值取1或?1。按照定义，它的值取1当且仅当方程ax2 + by2 = z2在有理数关于v的完备空间中有除了x = y = z = 0之外的解。希尔伯特二次互反律声称：对于固定的a、b，当v变动时，除了对有限个v以外，(a,b)v的值都是1，并且取遍所有v时，所有 (a,b)v 的乘积为1（这与复分析中的留数定理相似）。
希尔伯特二次互反律的证明可以归结到几个特殊情况，可以证明其中非平凡的情况与勒让德符号下的二次互反律的两个辅助定理（-1和2的情况）是等价的。在希尔伯特二次互反律中其实并没有“互反”的情形，它的名字只是表明它的历史来源是作为二次互反律的研究成果。不同于二次互反律要考虑正负问题，并要区分2的情况，希尔伯特二次互反律对所有的有理数都是平等的。因此使用希尔伯特符号的二次互反律推广起来更为自然：其推广到整体域时只需做出很少改变，并对所有的整体域都适用[24]。
[编辑] 应用
以二次互反律配合以下两个辅助定理
即能迅速地计算勒让德符号，从而解决二次剩余的判别问题。 例如判别37是否是模89的二次剩余：
所以
因此37是不是模89的二次剩余。
[编辑] 推广
二次互反律的推广主要是在代数数论中。
例如：高斯考察过四次互反律。在他的[25]首篇论文里他证明了一系列定理，其中最重要的是：如果
64b2，其中a、b是整数。如果剩余。
在第二篇论文中[26]，高斯引进了著名的高斯整数。高斯证明了模4余1的质数总能分解为两个高斯整数中质数的乘积、唯一分解定理等其它代数数论的基础定理，并引进了一些基本概念，如范数和单位元。在高斯整数中，四次互反律的叙述十分简单。高斯并且注意到在艾森斯坦整环中，三次互反律最为简单。一部分的原因是高斯整数中1有4个四次方根，而艾森斯坦整数中1有3个三次方根。
其它的推广是在以上整环中的二次互反律。高斯率先研究了高斯整数中的二次互反律[27]。
，那么
有解当且仅当p = a2 +
，那么模p的二次剩余必然是四次
参见
? ? ? ? ?
同余 同余方程 二次剩余 高斯引理 二次互反律的证明
? ?
三次互反律 阿廷互反律
[编辑] 注释及参考来源
1. ^ Gauss, DA § 4, arts 107-150
2. ^ 例如在其1796年4月8日（他初次证明二次互反律的日子）的数学日志里，参看 Felix Klein 的《19世纪数学进程》 3. ^ 蕭文強，數學=證明? 4. ^ Lemmermeyer, pp. 2-3 5. ^ Gauss, DA, art. 182 6. ^ Lemmermeyer, p. 3
7. ^ Lemmermeyer, p. 5, Ireland & Rosen, p 54, 61 8. ^ Proving the law of guadratic reciprocity
9. ^ Ireland & Rosen, pp. 69-70. 他的证明基于后来所称的“高斯和”。 10. ^ Lemmermeyer, pp. 6-8 11. ^ Comme les quantités analogues
se renconteront fréquemment dans le
pour
cours de nos recherches, nous emploierons le caractères abrégés exprimer le reste que donne
divisé par c, reste qui suivant ce qu'on
vient de voir ne peut être que +1 ou -1. --（法語）Adrien-Marie Legendre（1788年）．Recherche d'analyse indéterminée, Histoire de l'Académie Royale des Sciences．
12. ^ 由欧拉判别法，两者等价 13. ^ Lemmermeyer, pp. 8
14. ^ Proving the law of quadratic reciprocity 15. ^ Gauss, DA, arts 108-116 16. ^ Gauss, DA, arts 117-123 17. ^ Gauss, DA, arts 130 18. ^ Gauss, DA, Art 131 19. ^ Gauss, DA, arts 135-144 20. ^ Gauss, DA, arts. 125-129 21. ^ Ireland & Rosen, p 60-61. 22. ^ Lemmermeyer, Th. 2.28, pp 63-65 23. ^ Lemmermeyer, ex. 1.9, p. 28
24. ^ 诺丁汉大学数学线上教程：希尔伯特符号及希尔伯特二次互反律证明 25. ^ C. F. Gauss, Theorie der biquadratischen Reste, Comm. Soc. Reg. Sci. Gottingen (1828); 重印于 Untersuchungen uber hohere Arithmetik, pp. 511-533
26. ^ C. F. Gauss, Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda., Comm. Soc. Reg. Sci. Gottingen 7 (1832) 1-34; 重印于 Untersuchungen uber hohere Arithmetik, pp. 534-589
27. ^ 四次互反律的首篇论文Lemmermeyer, p.154中给出了狄利克雷的一个用到二次互反律的简单证明。Ireland & Rosen, p. 64, ex. 26
?
Gauss, Carl Friedrich & Arthur A. (translator into English) Clarke (1986), Disquisitiones Arithemeticae (Second, corrected edition), New York: Springer, ISBN 0387962549
?
Gauss, Carl Friedrich & H. (translator into German) Maser (1965),
Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory) (Second edition),
New York: Chelsea, ISBN 0-8284-0191-8
?
Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein, Berlin: Springer, ISBN 3-540-66967-4
?
Ireland, Kenneth & Michael Rosen (1990), A Classical Introduction to Modern Number Theory (second edition), New York: Springer, ISBN
0-387-97329-X
[编辑] 外部链接
? ? ?
二次互反律 高斯二次互反律
（英文）二次互反律的224个证明．於2008年9月1日查閱．