第五讲
点、直线与圆的位置关系
中考要求
略高要求 能判定一条直线是否为圆的切线；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题 会根据切线长知识解决简单问题 内容 基本要求 点与圆的位置关系 了解点与圆的位置关系 了解切线直线与圆的位置关了解直线与圆的位置关系；的概念，理解切线与过切点的半径之系 间关系；会过圆上一点画圆的切线 较高要求 能解决与切线有关的问题 切线长 了解切线长的概念 知识点睛
一、点与圆的位置关系
点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．
设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有：
点在圆外?d?r；点在圆上?d?r；点在圆内?d?r. 如下表所示： 位置关系 图形 PO定义 性质及判定 点在圆外 r点在圆的外部 d?r?点P在⊙O的外部. 点在圆上 rOP点在圆周上 d?r?点P在⊙O的外部. 点在圆内 rOP点在圆的内部 d?r?点P在⊙O的外部.
确定圆的条件 1. 圆的确定
确定一个圆有两个基本条件：①圆心(定点)，确定圆的位置；②半径(定长)，确定圆的大小．只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定． 2. 过已知点作圆
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⑴经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个．
⑵经过两点A、B的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A、B的圆，这样的圆也有无数个．
⑶过三点的圆：若这三点A、B、C共线时，过三点的圆不存在；若A、B、C三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．
⑷过n?n?4?个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心．
3. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：⑴”不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； ⑵”确定”一词的含义是”有且只有”，即”唯一存在”． 4. 三角形的外接圆
⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． ⑵三角形外心的性质：
①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；
②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.
⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.
二、直线与圆的位置关系
一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 相离 图形 rdOl定义 直线与圆没有公共点． 直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点． 直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线． 性质及判定 d?r?直线l与⊙O相离 相切 rdOld?r?直线l与⊙O相切 相交 rdOld?r?直线l与⊙O相交
从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示： 直线和圆的位置关系 相交 公共点个数 2 圆心到直线的距离d与半径r的关系 d?r 公共点名称 交点 直线名称 割线
二、切线的性质及判定 1． 切线的性质：
定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2． 切线的判定：
定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；
定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
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相切 1 d?r 切点 切线 相离 0 d?r 无 无
3． 切线长和切线长定理：
⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
①切线的判定定理
设OA为⊙O的半径，过半径外端A作l⊥OA，则O到l的距离d=r，∴l与⊙O相切．因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可．结论是“直线是圆的切线”．举例说明：只满足题设的一个条件不是⊙O的切线．
OOlOlAAlA
证明一直线是圆的切线有两个思路：（1）连接半径，证直线与此半径垂直；（2）作垂线，证垂足在圆上
②切线的性质定理及其推论
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 我们分析：这个定理共有三个条件：一条直线满足：（1）垂直于切线（2）过切点 （3）过圆心
AOOMATTB定理：①过圆心，过切点? 垂直于切线 OA过圆心， OA过切点A，则OA?AT
②经过圆心，垂直于切线?过切点 ?1?AB过圆心????M为切点
?2?AB?MT??③ 经过切点，垂直于切线?过圆心 ?1?AM?MT????AM过圆心
?2?M为切点??三、三角形内切圆
1． 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
2． 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．
3．直角三角形的内切圆半径与三边关系
AcbbaCCaAcDOBBBEFCA
（1） （2）
图（1）中，设a，，bc分别为?ABC中?A，?B，?C的对边，面积为S
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s1，其中p??a?b?c?； p21图（2）中，?C?90?，则r??a?b?c?
2
则内切圆半径（1）r?重、难点
重点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目．
难点与关键：?由点和圆的位置关系迁移到运动直线，导出直线和圆的位置关系的三个对应等价． 易错点：圆与圆位置关系中相交时圆心距在两圆半径和与差之间
例题精讲
一、点与圆的位置关系
【例1】 已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7，最小距离是5，则该圆的半径是( ) A．2 B．6 C．12 D．7
【解析】 考察由点到圆的距离，算出直径从而求出半径．所以选B．
【巩固】 一个已知点到圆周上的点的最大距离为5cm，最小距离为1cm，则此圆的半径为______．
5?1【解析】 ⑴ 当点在圆外时，r??2cm，
25?1⑵ 当点在圆内时，r??3cm．
2
【例2】 在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，5为半径作⊙O，已知A、B、C三点的坐标分别为
A（3，4），B（－3，－3），C（4，?10）。试判断A、B、C三点与⊙O的位置关系。
【解析】 分析：要判断点与圆的位置关系就是要比较点到圆心的距离与半径的大小关系。
∵OA?32?42?5
OB?(?3)2?(?3)2?32?5 OC?42?(?10)2?26?5
∴点A在⊙O上，点B在⊙O内，点C在⊙O外。
二、直线与圆的位置关系
1.切线的证明
【例3】 如图，?ABC中，AB?AC，O是BC的中点，以O为圆心的圆与AB相切于点D。求证：AC是?O的切线。
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AADBOCBDOEC
【解析】 分析：由于?O与AC有无公共点未知，因此我们从圆心O向AC作垂线段OE，证OE就是
?O的半径即可。
连结OD、OA，作OE?AC于E
∵AB?AC，OB?OC，∴AO是?BAC的平分线 ∵AB是?O的切线，∴OD?AB 又∵OE?AC，∴OE?OD ∴AC是?O的切线。
【例4】 如图，已知AB是?O的直径，BC为?O的切线，切点为B，OC平行于弦AD， OA?r。
（1）求证：CD是?O的切线； （2）求AD?OC的值；
9（3）若AD?OC?r，求CD的长。
2CDD12AOBAO3BC
【解析】 分析：（1）要证CD是?O的切线，由于D在?O上，所以只须连结OD，证OD?DC即可；
（2）求AD?OC的值，一般是利用相似把AD?OC转化为其它线段长的乘积，若其它两条线
9段长的乘积能求出来，则可完成；（3）由AD?OC， AD?OC?r可求出AD、OC，根据勾
2股定理即可求出CD。
（1）连结OD，证?ODC?90?即可； （2）连结BD
∵AB为?O的直径，∴?ADB?90? ∵?OBC?90?，∴?ADB??OBC 又?A??3，∴?ADB∽?OBC ∴
ADAB ?OBOC∴AD?OC?OB?AB?2r2
9（3）由（2）知AD?OC?2r2，又知AD?OC?r
29∴AD、OC是关于x的方程x2?rx?2r2?0的两根
2解此方程得x1?r，x2?4r 2初三·第5讲·教师版 page 5 of 5