【例13】 如图，AB是半?O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动（不与点M重
合），点Q在半?O上运动，且总保持PQ?PO，过点Q作?O的切线交BA的延长线于点C。 （1）当?QPA?60?时，请你对?QCP的形状做出猜想，并给予证明； （2）当QP?AB时，?QCP的形状是 三角形； （3）则（1）（2）得出的结论，请进一步猜想，当点P在线段AM上运动到任何位置时，?QCP
一定是 三角形。
QCAPMOB
【解析】 （1）?QCP是等边三角形；（2）等腰直角三角形；（3）等腰三角形
【巩固】 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O的半径AO上运动， PC⊥AB交⊙O于E，PT切⊙O
于T，PC=2.5。
（1）当CE正好是⊙O的半径时，PT=2，求⊙O的半径；
（2）设PT2?y，AC?x，求出y与x之间的函数关系式；
（3）△PTC能不能变为以PC为斜边的等腰直角三角形？若能，请求出△PTC的面积；若不能，请说明理由。
PETACOB
【解析】 （1）?O的半径为1.5；
（2）连结OP、由勾股定理得y?2.52?(1.5?x)2?1.52化简得y?x2?3x?6.25（0≤x≤1.5）； OT，（3）?PTC不可能变为以PC为斜边的等腰直角三角形。
理由如下：
当PT?CT时，由于PT切?O于T，所以CT过圆心，即CT就是?O的半径， 由（1）知，CT?1.5，PT?2，即PT?CT，
故?PTC不可能变为以PC为斜边的等腰直角三角形。
家庭作业
1． “圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是（ ）
A、经过半径外端点的直线是圆的切线；
B、垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线； C、垂直于半径的直线是圆的切线；
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D、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
【解析】 D
2． 两个圆的圆心都是O，半径分别为r1、r2，且r1＜OA＜r2，那么点A在（ ） A、⊙r1内 B、⊙r2外 C、⊙r1外，⊙r2内 D、⊙r1内，⊙r2外 【解析】 C
3． 一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（ ） A、2.5 cm或6.5 cm B、2.5 cm C、6.5 cm D、5 cm或13cm 【解析】 A
4． 三角形的外心恰在它的一条边上，那么这个三角形是（ ）
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定
【解析】 B
5． 已知PA、PB是?O的切线，A、B是切点，?APB?78?，点C是?O上异于A、B的任
一点，则?ACB? ?
【解析】 51或129；
6． 如图，已知?O的直径为AB，BD?OB，?CAB?30?，请根据已知条件和所给图形写出4
个正确的结论（除OA?OB?BD外）：① ；② ；③ ；④ 。
CAOBD
【解析】 ?ACB?90?，AB?2BC，DC是?O的切线，BD?BC等；
7． 若圆外切等腰梯形ABCD?AD∥BC?的面积为20，则圆的半径为 。 AD与BC之和为10，【解析】 由AD?BC?10，面积为20，得梯形的高为4，∴圆的半径为2.
8． 已知四边形ABCD外切于⊙O，四边形ABCD的面积为24，周长24，求⊙O的半径； 1【解析】 24?r?AB?BC?CD?DA?, AB?BC?CD?DA?24, ∴?O的半径r?2
2
9． 如图，在?ABC中，?ABC?90?，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于
点E，与AC切于点D，AD=2，AE=1，求S?BCD。
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CDBAEO
【解析】 过D作DF?BC于F，S?BCD?
10． 如下左图，在Rt?ABC中，?C?90?，AC?4，BC?3，以BC上一点O为圆心作?O与AB相切于E，与AC相切于C，又?O与BC的另一交点为D，则线段BD的长为（ ）
A、1
B、
11 C、 2318； 5 D、
1 4BDEOAC
【解析】 连接OE，可证得?BOE∽?BAC，
∴
BOBA3?x541，设OC?x，则??，解得x?，∴BD?BC?2x?
OEAC3x43∴选C.
11． 如图，以Rt?ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连结DE.
（1）DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；
（2）若AD、AB的长是方程x2-10x?24?0的两个根，求直角边BC的长。
CCEDDEAOBAOB
【解析】 （1）连接BD，OD
易得?CDB?90?，∵E为BC中点
∴ED?EB 由ED?EB，?ODB??OBD， OD?OB，可得?EDB??EBD，∴?ODE??OBE?90? ∴DE与半圆O相切
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（2）解方程x2-10x?24?0可得x1?4，x2?6 ∴AB?6，AD?4 由?ABD∽?ACB得
ADAB46，∴?，∴AC?9，∴BC?AC2?AB2?35 ?ABAC6AC初三·第5讲·教师版
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