∵OC?r，∴OC?4r
∴CD=OC2?OD2?16r2?r2?15r
【巩固】 如图，已知AB是?O的直径，过?O上A点的直线AD∥OC，BC是和?O相切于点B的切线，
若OA?2且AD?OC?6，则CD? 。
CDAOB
【解析】 连接OD，证明?COD≌?COB，于是?CDO??CBO?90?，∴CD为?O切线。
∴CD?CB，
连接BD，设AD?x，则OC?6?x， 易证得?ABD∽?OBC
∴
ADOBx2，即?，解得x1?2，x2?4（舍去） ?ABOC46?x
∴OC?4，∴BC?CO2?OB2?42?22?23
【巩固】 如图，AB是半圆（圆心为O）的直径，OD是半径，BM切半圆于B，OC与弦AD平行且交
BM于C。
（1）求证：CD是半圆的切线；
（2）若AB长为4，点D在半圆上运动，设AD长为x，点A到直线CD的距离为y，试求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。
MCDBAO
【解析】 （1）证?ODC?90?；
（2）连结BD，过A作AE?CD于E，证?ADB∽?AED，
则有
ADAByx1，即?，y?x2(0?x?4) ?AEADx44
【例5】 如图，AC为?O的直径，B是?O外一点，AB交?O于E点，过E点作?O的切线，交BC于D点，DE?DC，作EF?AC于F点，交AD于M点。 （1）求证：BC是?O的切线； （2）EM?FM。
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BEMADCAEM23OF1CDBOF
【解析】 分析：（1）由于AC为直径，可考虑连结EC，构造直角三角形来解题，要证BC是?O的切
线，证到?1??3?90?即可；（2）可证到EF∥BC，考虑用比例线段证线段相等。 （1）连结EC，∵DE?CD，∴?1??2 ∵DE切?O于E，∴?2??BAC ∵AC为直径，∴?BAC＋?3?90?
∴?1＋?3?90?，故BC是?O的切线。 （2）∵?1＋?3?90?，∴BC?AC 又∵EF?AC，∴EF∥BC
∴
EMAMMF ??BDADCD∵BD?CD，∴EM?FM
?的中点，OE交BC于【例6】 如图，割线ABC与?O相交于B、C两点，D为?O上一点，E为BCF，DE交AC于G，?ADG??AGD。
（1）求证：AD是?O的切线；
（2）如果AB?2，AD?4，EG?2，求?O的半径。
CFGBADOE
【解析】 （1）连接OD，由?E??FGE?90?，等量代换可得?ODE??EDA?90?，于是OD?AD，
∴AD是?O的切线
（2）23；
【点评】本题第（2）问需要用到相交弦定理或切割线定理，教师可根据学生的情况选讲
2.切线长定理及切线性质的应用
【例7】 在Rt?ABC中，?A?90?，点O在BC上，以O为圆心的?O分别与AB、AC相切于E、F，
若AB?a， AC?b，则?O的半径为（ ）
A、ab B、
a?baba?b C、 D、 aba?b2初三·第5讲·教师版 page 7 of 7
CFOAEB
【解析】 C
如图，设圆半径为r，则CF?b?r，BE?a?r
由?OCF∽?BOE，得
rb?rab，解得r?。 ?a?raa?b
【例8】 如图，AB?BC，DC?BC，BC与以AD为直径的?O相切于点E，AB?9，CD?4，则
四边形ABCD的面积为 。
CDEOBA
【解析】 78；
设AB交?O于F，连接DF，则CDFB为矩形， ∴AF?9?4?5，
连接EO，则EO?BC，∵O为AD中点， ∴OE为梯形ABCD中位线， ∴EO?6.5，∴AD?13
在Rt?ADF中，DF?AD2?AF2?132?52?12 ∴S梯形ABCD?EO?DF?6.5?12?78.
【例9】 如图，过?O外一点P作?O的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，连结AB，在AB、
使A连结DE、DF、EF，则?EDF?PB、PA上分别取一点D、E、F，D?BE，BD?AF，
（ ）
11A、90?－?P B、90???P C、180???P D、45?-?P
22ADOEFPB
【解析】 B
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【例10】 如图，已知?ABC中，AC?BC， ?CAB??（定值），?O的圆心O在AB上，并分别与AC、
BC相切于点P、Q。 （1）求?POQ；
（2）设D是CA延长线上的一个动点，DE与?O相切于点M，点E在CB的延长线上，试判断?DOE的大小是否保持不变，并说明理由。
CCPPAODNQQBOABDNE
【解析】 分析：（1）连结OC，利用直角三角形的性质易求?POQ；（2）试将?DOE用含?的式子表
示出来，由于?为定值，则?DOE为定值。
（1）连结OC
∵BC切?O于P、Q，∴?1??2，OP?CA，OQ?CB ∵CA?CB，∴CO?AB
∴?COP??CAB，?COQ??CBA
∵?CAB??，∴?POQ??COP＋?COQ?2? （2）由CD、DE、CE都与?O相切得： 11?ODE??CDE， ?OED??CED
22∴?DOE?180?? （?ODE??OED）1 ?180??（?CDE??CED）
21 ?180??（ 180???ACB）21 180???[180??（180??2?）]
2 ?180???
∴?DOE为定值。
【例11】 如图，?O为Rt?ABC的内切圆，点D、E、F为切点，若AD?6，BD?4，则?ABC的
面积为 。
BDFOCEA
【解析】 24；
由切线长定理可知BF?BD?4，AE?AD?6，
设内切圆半径为r，则AC?AE?r?6?r，BC?BF?r?4?r，
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在Rt?ABC中，有AB2?AC2?BC2即102??6?r???4?r?，解得r?2 ∴S?ABC?11AC?BC??6?8?24. 2222
【例12】 正方形ABCD中，AE切以BC为直径的半圆于E，交CD于F，则CF:FD?（ ）
A、1∶2 B、1∶3 C、1∶4 D、2∶5
ADEFBOC
【解析】 B
设正方形边长为1，CF?x，则DF?1?x。
在Rt?ADF中，AF2?DF2?AD2，即?1?x??12??1?x?，解得x?∴DF?1?13?， 44221， 4∴CF:FD?1:3
【巩固】 如图，以正方形ABCD的边AB为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，CG切半圆于E，
交AD于F，交BA的延长线于G，GA?8。 （1）求?G的余弦值； （2）求AE的长。
GAFEODGAFEODBCBC
22【解析】 （1）设正方形ABCD的边长为a，FA?FE?6，在Rt?FCD中，FC2?FD，?CD(a?b)2?(a?b)2?a2，解得a?4b。 ∴cos?FCD?CDa4b4??? FCa?b5b54 5∵AB∥CD，∴?G??FCD，∴cos?G?（2）连结BE，∵CG切半圆于E，∴?AEG??GBE ∵?G为公共角，∴?AEG∽?EBG ∴
AEGE161??? BEGB322245 5在Rt△AEB中，可求得AE?初三·第5讲·教师版 page 10 of 10