2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
x?x3（1）函数f(x)?的可去间断点的个数为：（ ）
sin?x?A?.
1
?B?. 2 ?C?.
3
?D?.无穷多个
【答案】C 【解析】
x?x3 f?x??
sin?x则当x取任何整数时，f?x?均无意义
故f?x?的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是x?x?0的解
3x1,2,3?0,?1
x?x31?3x21lim?lim?x?0sin?xx?0?cos?x?x?x31?3x22lim?lim? x?1sin?xx?1?cos?x?x?x31?3x22lim?lim?x??1sin?xx??1?cos?x?故可去间断点为3个，即0,?1
2（2）当x?0时，f(x)?x?sinax与g(x)?xln(1?bx)是等价无穷小，则（ ）
?A?.a?1，b??6 ?B?. a?1，b?6
1a??1b??.， C??6【答案】 A
?D?.a??1，b?111 6【解析】f(x)?x?sinax,g(x)?xln(1?bx)为等价无穷小，则
2f(x)x?sinaxx?sinax1?acosaxa2sinaxlim?lim2?lim2洛lim洛lim2x?0g(x)x?0xln(1?bx)x?0x?(?bx)x?0x?0?3bx?6bx第 1 页 共 14 页
a2sinaxa3?lim???1 ?a3??6b 故排除B,C。 x?06b6b??axa另外lim1?acosax存在，蕴含了1?acosax?0?x?0?故a?1.排
x?0?3bx2D。
所以本题选A。 （3）使不等式
?x1sintdt?lnx成立的x的范围是（ ） t
?A?.
(0,1)
??(1,)(. .BC??2??2,?)
?D?.(?,??)
【答案】A
【解析】原问题可转化为求
f(x)??xsintx1xsint?111?sintsintdt?lnx??dt??dt??dt??dt?0成立时x的1111xttttt1?sint?0，t??0,1?时，知当x??0,1?时，f(x)?0。故应选A. 取值范围，由tx
（4）设函数y?f?x?在区间??1,3?上的图形为：
f(x)O 0 -1 x-2 1 2 3 x
则函数F?x???f?t?dt的图形为（ ）
0f(x)1 0 -1 f(x)1 -2 1 2 3 x
?B?.
-2 -1 0 1 2 3 x
?A?.
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f(x)1 0 f(x)1 -1 1 2 3 x
-2 0 -1 1 2 3 x
?C?.
【答案】D
?D?.
【解析】此题为定积分的应用知识考核，由y?f(x)的图形可见，其图像与x轴及y轴、
x?x0所围的图形的代数面积为所求函数F(x)，从而可得出几个方面的特征：
①x??0,1?时，F(x)?0，且单调递减。 ②x??1,2?时，F(x)单调递增。 ③x??2,3?时，F(x)为常函数。
④x???1,0?时，F(x)?0为线性函数，单调递增。 ⑤由于F(x)为连续函数
结合这些特点，可见正确选项为D。
（5）设A,B均为2阶矩阵，A,B分别为A,B的伴随矩阵，若|A|?2,|B|?3则分块矩阵
?*?0??BA??的伴随矩阵为（ ） 0??03B*??A?.?*?
2A0???03A*??C?.?*?
0??2B??02B*? ?B?. ?*?
3A0??
?02A*??D?.?*?
0??3B??1?1【解析】根据CC?CE，若C?CC,C?1?C C分块矩阵??0?BA?0的行列式?0?BA2?2?（?1）AB?2?3?6，即分块矩阵可逆 0第 3 页 共 14 页
?0??BA?0??0?B?A?0?0?BA??0?6??1?0??A?1??0?1B???6??1?0??A?A1??B?B? ?0????0?6??1A???2故答案为（B）
1??B3??0????3A0????2B??? 0??100???TT（6）设A,P均为3阶矩阵，P为P的转置矩阵，且PAP??010?，若
?002???T，则QAQ 为（ ） P?(?1,?2?,3)Q,??(1??2?,?,)23?210?
?
110?A?.??? ?002????200?
?
010?C?.??? ?002???
【答案】 A
?110?
??
?B?. ?120?
?002????100???
?D?.?020?
?002???
?100???【解析】Q?(?1??2,?2,?3)?(?1,?2,?3)110?(?1,?2,?3)E12(1)，即： ????001??Q?PE12(1)TQTAQ?[PE12(1)]TA[PE12(1)]?E12(1)[PTAP]E12(1)?10?E21(1)??01??00?110??1??0??010?????001????00?0??E12(1)2??00??100??210??110???110?10??????02????001????002??
（7）设事件A与事件B互不相容，则（ ）
?A?.P(AB)?0
?B?. P(AB)?P(A)P(B)
?C?.P(A)?1?P(B) ?D?.P(A?B)?1
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【答案】?D?
【解析】因为A,B互不相容，所以P(AB)?0
(A)P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)，因为P(A?B)不一定等于1，所以(A)不正确 (B)当P(A),P(B)不为0时，(B)不成立，故排除 (C)只有当A,B互为对立事件的时候才成立，故排除
(D)P(A?B)?P(AB)?1?P(AB)?1，故(D)正确。
（8）设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0,1)，Y的概率分布为
P{Y?0}?P{Y?1}?1，记Fz(Z)为随机变量Z?XY的分布函数，则函数Fz(Z)22
的间断点个数为（ ）
?A?.
【答案】 B 【解析】
0
?B?. 1 ?C?. ?D?. 3
FZ(z)?P(XY?z)?P(XY?zY?0)P(Y?0)?P(XY?zY?1)P(Y?1)1?[P(XY?zY?0)?P(XY?zY?1)]21?[P(X?0?zY?0)?P(X?zY?1)]2?X,Y独立
1?FZ(z)?[P(x?0?z)?P(x?z)]
21（1）若z?0，则FZ(z)??(z)
21（2）当z?0，则FZ(z)?(1??(z))
2?z?0为间断点，故选（B）
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）lime?ecosx1?x?12x?03? .
【答案】
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