在?式中令t?1，则f(1)?f(1)??0,ft(?)?0,f2，代1入t?cy??(1)?122y得3111c?,?t?(?2y)。
33y所以该曲线方程为：2y?
（20）（本题满分11 分）
1?3x?0。 y?1?1?1???1?????1?,?1??1? 设A=??11?0?4?2???2?????①求满足A?2??1，A2?3??1的所有向量?2，?3. ②对①中的任意向量?2,?3证明?1,?2,?3线性无关。 【解析】（Ⅰ）解方程A?2??1
?1?1?1?1??1?1?1?1??1?1?1?1???????1111?0000?0211?A,?1????????? ?0?4?2?2??0211??0000??????? r(A)?2故有一个自由变量，令x3?2，由Ax?0解得，x2??1,x1?1 求特解，令x1?x2?0，得x3?1
?1??0????? 故?2?k1??1???0? ，其中k1为任意常数
?2??1?????解方程A2?3??1
?220???A2???2?20?
?440????1??110?220?1??2?????2A,???2?201?0000?1??? ???4402??0000???????第 11 页 共 14 页
故有两个自由变量，令x2??1，由Ax?0得x1?1,x3?0
2?1??1??2??1??2???????求特解?2??0? 故 ?3?k2?1??0? ，其中k2为任意常数
???0??0??0???????????（Ⅱ）证明：
?1由于1k1?k1k2??22k1?1?
（21）（本题满分11 分）
11?k2?2k1k2?(2k1?1)(k2?)?2k1(k2?)?k2(2k1?1)
220121?0 故?1,?2,?3 线性无关. 2设二次型f(x1,x2,x3)?ax12?ax22?(a?1)x32?2x1x3?2x2x3 ①求二次型f的矩阵的所有特征值。
②若二次型f(x1,x2,x3)的规范型为y12?y12，求a的值。
1??a0???1? 【解析】（Ⅰ） A??0a?1?1a?1?????a|?E?A|?0?10?11?(??a)??a1??a11??a?1??a?1?0?1??a1
?(??a)[(??a)(??a?1)?1]?[0?(??a)]?(??a)[(??a)(??a?1)?2]?(??a)[?2?2a????a2?a?2]19?(??a){[a??(1?2a)]2?}24?(??a)(??a?2)(??a?1)
??1?a,?2?a?2,?3?a?1
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22（Ⅱ） 若规范形为y1，说明有两个特征值为正，一个为0。则 ?y21) 若?1?a?0，则 ?2??2?0 ，?3?1 ，不符题意
2) 若?2?0 ，即a?2，则?1?2?0，?3?3?0，符合
3) 若?3?0 ，即a??1，则?1??1?0 ，?2??3?0，不符题意 综上所述，故a?2
（22）（本题满分11 分）
?e?x设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)???0①求条件概率密度fYX(yx) ②求条件概率P???X?1Y?1?? 【解析】
0?y?x其他
?e?x0?y?x（I）由f(x,y)??????? 得其边缘密度函数
其它0? fx(x)??x0 e?xdy?xe?x????x?0故 fy|x(y|x)?f(x,y)1??????0?y?x fx(x)x?1???????????y?x即 fy|x(y|x) ??x??0???????????????其它（II）P[X?1|Y?1]?P[X?1,Y?1]
P[Y?1]1x00而P[X?1,Y?1]???f(x,y)dxdy??dx?x?1y?1edy??xe?xdx?1?2e?1
0?x1fY(y)??e?xdx??e?x|y????y?e?y????,y?0
11???P[Y?1]??e?ydy??e?y|??e?1?1?1?e?1
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1?2e?1e?2???P[X?1|Y?1]??
1?e?1e?1
（23）（本题满分11分）
袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以X、Y、Z分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数。 ①求P??X?1Z?0??.
②求二维随机变量(X,Y)的概率分布.
【解析】（Ⅰ）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球
1C2?24 ?P(X?1Z?0)?11?
C3?C39（Ⅱ）X，Y取值范围为0，1，2，故
1111C3?C3C2?C311P?X?0,Y?0??11?,P?X?1,Y?0??11?C6?C64C6?C66111C2?C2?C3111P?X?2,Y?0??11?,P?X?0,Y?1???11C6?C636C6?C6311C2?C21P?X?1,Y?1??11?,P?X?2,Y?1??0C6?C6911C2?C21P?X?0,Y?2??11?C6?C69
P?X?1,Y?2??0,P?X?2,Y?2??0 X Y 0 1 2
0 1/4 1/3 1/9 1 1/6 1/9 0 2 1/36 0 0 第 14 页 共 14 页