【解析】lime?ecosx1?x?12x?03?lime(1?ecosx?1)1?x?12x?03 ?lime(1?cosx)
x?012x31e?x2 ?lim2
x?012x33 ?e
2（10）设z?(x?ey)x，则【解析】 由z?x?e?z? ?x(1,0)x?yx?，故z?x,0???x?1?
dz?x?x'xln(1?x)'xln(1?x)???? ??x?1???e?eln(1?x)?????dx?1?x??代入x?1得，
?z?x
?1,0?1???eln2?ln2???2ln2?1
2??en?(?1)nn（11）幂级数?x的收敛半径为 2nn?1?【答案】
1 en【解析】
en???1?由题意知，an??0
n2n?1??1??n?1e?1?????2?e??n????e(n??)
??2?n?1?en?1???1?n???????e????an?1e?ann?1???1?2n?1?n?1??n2en???1?1 en所以，该幂级数的收敛半径为
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（12）设某产品的需求函数为Q?Q(P),其对应价格P的弹性?p?0.2，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元 【答案】12000
【解析】所求即为?QP???Q?P?Q 因为?p?Q?P?0.2，所以Q?P?0.2Q Q所以?QP???0.2Q?Q?1.2Q 将Q?10000代入有?QP???12000。
?300???（13）设??(1,1,1)T,??(1,0,k)T，若矩阵??T相似于?000?，则k?
?000???【答案】2
?300???【解析】??T相似于000，根据相似矩阵有相同的特征值，得到??T的特征值为 ????000??3，0，0。而?
(14) 设X1，X2,…Xn是来自二项分布总体B(n,p)的简单随机样本，X和S分别为样
2本均值和样本方差，记统计量T?X?S，则ET? 2T?为矩阵??T的对角元素之和，?1?k?3?0?0，?k?2。
【答案】np
【解析】由ET?E(X?S2)?EX?ES2?np?np(1?p)?np2
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22（15）（本题满分9分）求二元函数f(x,y)?x2?y?ylny的极值。
2??【解析】
fx?(x,y)?2x(2?y2)?0
fy?(x,y)?2x2y?lny?1?0
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故x?0,?y?1 e???2(2?y2),?fyy???2x2?fxx则
1???4xy ,?fxyy??(0,1)?2(2?fxxe1)2e
??fxy??fyy1(0,)e1(0,)e?0?e???0而(fxy??)2?fxx??fyy???0 ?fxx11?二元函数存在极小值f(0,)??
ee
（16）（本题满分10 分） 计算不定积分ln(1?【解析】 令?1?x)dx (x?0) x1?x1?2tdt ?t得x?2,?dx?22t?1(t?1)x?2t?1dt?ln(1?t)d(t2?1)2222?(t?1)(t?1)原式??ln(1?t)??ln(1?t)d(1)t2?1ln(1?t)11?2??2?dtt?1t?1t?1ln(1?t)1?1?1?2??(??）dt2t?14(t?1)4(t?1）2（t?1）?ln(1?t)1t?11?ln??C2t?14t?12(t?1)1?x?11?x11x?xln(1?)?ln??Cx41?x1?x?12(?1)xx
1?x11?xln(1?)?ln((1?x)?x)?ln((1?x)?x)?Cx22
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（17）（本题满分10 分） 计算二重积分
?(x,y)(x?1)2?(y?1)2?2,y?x?. D?，其中(x?y)dxdy????D【解析】由(x?1)2?(y?1)2?2得r?2(sin??cos?)，
3?2(sin??cos?)4???(x?y)dxdy??d??(rcos??rsin?)rdr
?0D43??1432(sin??cos?)????(cos??sin?)?r?d? ??30?43?8??4(cos??sin?)?(sin??cos?)?(sin??cos?)2d?
?343?8??4(cos??sin?)?(sin??cos?)3d?
?343?8481??(sin??cos?)3d(sin??cos?)??(sin??cos?)43?344
（18）（本题满分11 分）
①证明拉格朗日中值定理，若函数f(x)在?a,?3?448??
3b?上连续，在?a,b?上可导，则
???a,b?，得证f(b)?f(a)?f'(?)?b?a?.
②证明：若函数f(x)在x?0处连续，在?0,??,(??0)内可导，且limf'(x)?A，则
x?0?f?'(0)存在，且f'?(0)?A.
【解析】（Ⅰ）作辅助函数?(x)?f(x)?f(a)?f(b)?f(a)(x?a)，易验证?(x)满足：
b?a?(a)??(b)；?(x)在闭区间?a,b?上连续，在开区间?a,b?内可导，且
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?'(x)?f'(x)?f(b)?f(a)。
b?a根据罗尔定理，可得在?a,b?内至少有一点?，使?'(?)?0，即
f'(?)?f(b)?f(a)?0,?f(b)?f(a)?f'(?)(b?a)
b?a（Ⅱ）任取x0?(0,?)，则函数f(x)满足；
在闭区间?0,x0?上连续，开区间?0,x0?内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在
?x??0,x0???0,??，使得f'??x??00f(x0)?f(0)……?*?
x0?0f又由于lim?x?0'?x??A，对上式（*式）两边取x0?0?时的极限可得：
f(x0)?f?0??lim?f'(?x0)?lim?f'(?x0)?A x0?0?x0?0x0?0f?'?0??lim?x0?0故f?'(0)存在，且f?'(0)?A。
（19）（本题满分10 分）
设曲线y?f(x)，其中y?f(x)是可导函数，且f(x)?0.已知曲线y?f(x)与直线
y?0,x?1及x?t(t?1)所围成的曲边梯形，绕x轴旋转一周所得的立体体积值是绕曲边
梯形面积值的?t倍，求该曲线方程。 【解析】旋转体的体积为V?tt22?fdx???1(x)?1f(x)dx
曲边梯形的面积为：s?t?1f(x)dx，则由题可知
ttttV??ts???f(x)2dx??t?f(x)dx??f(x)2dx?t?f(x)dx
1111两边对t求导可得f(t)?'2t2fdx?tf?f?tf?(t)(t)(t)?1(x)?1f(x)dx ?
't继续求导可得2f(t)f(t)?f(t)?tf(t)?f(t)，化简可得
1?2dt1(2f(t)?t)f(t)?2f(t)??t?1，解之得t?c?y2?y
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