容斥原理
知识框架图 7-7-1两量重叠问题 7-7-2三量重叠问题 7 计数综合 7-7 容斥原理 7-7-3图形中的重叠问题 7-7-4容斥原理在数论问题中的应用 7-7-5容斥原理中的最值问题
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．
教学目标
知识要点
一、两量重叠问题
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A?B?A?B?A?B(其中符号“?”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“?”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A?B，即阴影面积．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A?B，即阴影面积．
1．先包含——A?B
重叠部分A?B计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A?B?A?B
把多加了1次的重叠部分A?B减去．
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A?B的元素的个数，可分以下两步进行：
第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求A?B(意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起)；
第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C?A?B(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．
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二、三量重叠问题
A类、B类与C类元素个数的总和?A类元素的个数?B类元素个数?C类元素个数?既是A类又是B类的元素个数?既是B类又是C类的元素个数?既是A类又是C类的元素个数?同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：A?B?C?A?B?C?A?B?B?C?A?C?A?B?C．图示如下：
图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，大圆表示C的元素的个数．
1．先包含：A?B?C
重叠部分A?B、B?C、C?A重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A?B?C?A?B?B?C?A?C
重叠部分A?B?C重叠了3次，但是在进行A?B?C? A?B?B?C?A?C计算时都被减掉了． A?B?C?A?B?B?C?A?C?A?B?C． 3．再包含：
在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．
例题精讲
模块一、两量重叠问题
【例 1】 实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小
组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？
ACB
【解析】 如图所示，A圆表示参加语文兴趣小组的人，B圆表示参加数学兴趣小组的人，A与B重合的部分
C(阴影部分)表示同时参加两个小组的人．图中A圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有28?12?16(人)；图中B圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有29?12?17(人)．
方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：16?12?17?45(人)． 方法二：根据包含排除法，直接可得：
参加语文或数学兴趣小组的人?参加语文兴趣小组的人?参加数学兴趣小组的人?两个小组都参加的人，即：28?29?12?45(人)．
【巩固】 芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画
的分别有多少人？
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ACB
【解析】 解包含与排除题，画图是一种很直观、简捷的方法，可以帮助解决问题，画图时注意把不同的对象
与不同的区域对应清楚．建议教师帮助学生画图分析，清楚的分析每一部分的含义．
如图，A圆表示学画画的人，B圆表示学钢琴的人，C表示既学钢琴又学画画的人，图中A圆不含阴影的部分表示只学画画的人，有：43?37?6(人)，图中B圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人，有：58?37?21(人)．
【巩固】 四(二)班有48名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有30人，写完数学作业的有20人，语文
数学都没写完的有6人．
⑴ 问语文数学都写完的有多少人？ ⑵ 只写完语文作业的有多少人？
【解析】 ⑴ 由题意，有48?6?42(人)至少完成了一科作业，根据包含排除原理，两科作业都完成的学生有：
30?20?42?8(人)．
⑵ 只写完语文作业的人数?写完语文作业的人数-语文数学都写完的人数，即30?8?22(人)．
【例 2】 某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了．这
个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？
【解析】 已知全班总人数，从反面思考，找出参加美术或音乐小组的人数，只需用全班总人数减去这个人数，
就得到既没参加美术小组也没参加音乐小组的人数．根据包含排除法知，该班至少参加了一个小组的总人数为12?23?5?30(人)．所以，该班未参加美术或音乐小组的人数是46?30?16(人)．
【巩固】 四年级一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，一12人两项比赛都参加了．
班有多少人两项比赛都没有参加？
【解析】 由包含排除法可知，至少参加一项比赛的人数是：26?22?12?36(人)，所以，两项比赛都没有参
加的人数为：45?36?9(人)．
【巩固】 实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演的有7
人．这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？
【解析】 根据包含排除法，这个表演队能登台表演歌舞的人数为：10?18?7?21(人)．
【例 3】 某次英语考试由两部分组成，结果全班有12人得满分，第一部分有25人做对，第二部分有19人有
错，问两部分都有错的有多少人？
只做对第一部分的两部分全对的只做对第二部分的两部分都有错的
【解析】 如图，用长方形表示参加考试的人数，A圆表示第一部分对的人数．B圆表示第二部分对的人数，
长方形中阴影部分表示两部分都有错的人数．
已知第一部分对的有25人，全对的有12人，可知只对第一部分的有：25?12?13(人)．又因为第二
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部分有19人有错，其中第一部分对第二部分有错的有13人，那么余下的19?13?6(人)必是第一部分和第二部分均有错的，两部分都有错的有6人．
【例 4】 对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人．两项都会的有10人，两项都不会的
有9人．这个班一共有多少人？
会游泳的A两项都会的B会打篮球的两项都不会的
【解析】 如图，用长方形表示全班人数，A圆表示会游泳的人数，B圆表示会打篮球的人数，长方形中阴影
部分表示两项都不会的人数．
由图中可以看出，全班人数?至少会一项的人数?两项都不会的人数，至少会一项的人数为：20?25?10?35(人)，全班人数为：35?9?44 (人)．
【巩固】 某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有32人，参加军棋比赛的有28人，有18人两项比赛都
参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？
只参加象棋比赛的两项比赛都参加的A只参加军棋比赛的B
【解析】 如图，A圆表示参加象棋比赛的人，B圆表示参加军棋比赛的人，A与B重合的部分表示同时参加
两项比赛的人．图中A圆不含阴影的部分表示只参加象棋比赛不参加军棋比赛的人，有32?18?14(人)；图中B圆不含阴影的部分表示只参加军棋比赛不参加象棋比赛的人，有28?18?10(人)．由此得到参加棋类比赛的人有14?18?10?42(人)． 或者根据包含排除法直接得：32?28?18?42(人)．
【例 5】 在46人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18人，既采了樱桃又采了杏的有7人，既没采樱桃又
没采杏的有6人，问：只采了杏的有多少人？
A既采樱桃又采杏的B既没采樱桃又没采杏的
【解析】 如图，用长方形表示全体采摘人员46人，A圆表示采了樱桃的人数，B圆表示采了杏的人数．长方
形中阴影部分表示既没采樱桃又没采杏的人数．
由图中可以看出，全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采的人数之和，则至少采了一种的人数为：46?6?40(人)，而至少采了一种的人数?只采了樱桃的人数?两种都采了的人数?只采了杏的人数，所以，只采了杏的人数为：40?18?7?15(人)．
【例 6】 甲、乙、丙三个小组学雷锋，为学校擦玻璃，其中68块玻璃不是甲组擦的，52块玻璃不是乙组擦
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的，且甲组与乙组一共擦了60块玻璃．那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻璃？
【解析】 68块玻璃不是甲组擦的，说明这68块玻璃是乙、丙两组擦的；52块玻璃不是乙组擦的，说明这52块玻璃是甲、丙两组擦的．
如图，用圆A表示乙、丙两组擦的68块玻璃，B圆表示甲、丙两组擦的52块玻璃．因甲乙两组共擦了60块玻璃，那么68?52?60?60(块)，这是两个丙组擦的玻璃数．60?2?30(块)．丙组擦了30块玻璃．乙组擦了：68?30?38(块)玻璃，甲组擦了：52?30?22(块)玻璃．
【例 7】 育才小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的，五、
六年级共展出25幅画，其他年级的画共有多少幅？
乙A丙B甲
【解析】 通过16幅画不是六年级的可以知道，五年级和其他年级的画作数量之和是16，通过15幅画不是五
年级的可以知道六年级和其他年级的画作数量之和是15，那也就是说五年级的画比六年级多1幅，我们还知道五、六年级共展出25幅画，进而可以求出五年级画作有13幅，六年级画作有12幅，那么久可以求出其他年级的画作共有3幅．
【例 8】 47名学生参加数学和语文考试，其中语文得分95分以上的14人，数学得分95分以上的21人，两
门都不在95分以上的有22人．问：两门都在95分以上的有多少人？
语文95分以上的两门都不在95分以上的A两门95分以上的数学95分以上的B
【解析】 如图，用长方形表示这47名学生，A圆表示语文得分95分以上的人数，B圆表示数学得95分以上
的人数，A与B重合的部分表示两门都在95分以上的人数，长方形内两圆外的部分表示两门都不在95分以上的人数． 由图中可以看出，全体人数是至少一门在95分以上的人数与两门都不在95分以上的人数之和，则至少一门在95分以上的人数为：47?22?25(人)．根据包含排除法，两门都在95分以上的人数为：14?21?25?10(人)．
【巩固】 (第二届小学迎春杯数学竞赛)有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，
83人懂俄语．问既懂英语又懂俄语的有多少人？
【解析】 方法一：在100人中懂英语或俄语的有：100?10?90(人)．又因为有75人懂英语，所以只懂俄语的
有：90?75?15(人)．从83位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人，剩下的83?15 ?68(人)就是既懂英语又懂俄语的旅客．
方法二：学会把公式进行适当的变换，由包含与排除原理，得：
A?B?A?B?A?B?75?83?90?68(人)．
【例 9】 一个班48人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作
业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了．已知做完语文作业的有37人；做完数学作业的有42人．这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？
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