【解析】 不妨用下图来表示：
线段AB表示全班人数，线段AC表示做完语文作业的人数，线段DB表示做完数学作业的人数，重
叠部分DC则表示语文、数学都做完的人数．
根据题意，做完语文作业的有37人，即AC?37．做完数学作业的有42人，即DB?42．
AC?DB?37?42?79(人) ???? ① AB?48(人) ???? ②
①式减②式，就有DC?79?48?31(人)
所以，数学、语文作业都做完的有31人．
【巩固】 四年级科技活动组共有63人．在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师
到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人．每个同学都至少完成了一项活动．问：同时完成这两项活动的同学有多少人？
【解析】 因42?34?76，76?63，所以必有人同时完成了这两项活动．由于每个同学都至少完成了一项活动，
根据包含排除法知，42?34?(完成了两项活动的人数)?全组人数，即76?(完成了两项活动的人数)?63．
由减法运算法则知，完成两项活动的人数为76?63?13(人)．也可画图分析．
【巩固】 科技活动小组有55人．在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时清
点发现：制作好一架飞机模型的同学有40人，制作好一艘舰艇的同学有32人．每个同学都至少完成了一项制作．问两项制作都完成的同学有多少人？
ACB
【解析】 因为40?32?72，72?55，所以必有人两项制作都完成了．由于每个同学都至少完成了一项制作，
根据包含排除法可知：全组人数?40?32?完成了两项制作的人数，即55?72?完成了两项制作的人数．所以，完成了两项制作的人数为：72?55?17(人)．
11【例 10】 一次数学测验，甲答错题目总数的，乙答错3道题，两人都答错的题目是题目总数的．求甲、
46乙都答对的题目数.
7-7.容斥原理.题库 教师版 page 6 of 20
n?a?c?(1)?4?【解析】 (法一)设共有n道题．由右图知d即为所求，并有关系式?c?b?3(2)
?n?c?(3)6?n， 6由于b是非负整数，所以n=12，由此求出c=2，b=1，a=1.又由a+b+c+d=n，得到d=n-（a+b+c)=8 （法二）显然两人都答错的题目不多于3道，所以题目总数只可能是6、12、18，其中只有12，能使甲答错题目总数是整数.
由①③知,n是4和6的公倍数，即12的倍数．将③代入②，有b?3?
【例 11】 小赵、小钱、小孙、小李、小周、小吴、小郑、小王，这8名同学站成一排．其中小孙和小周不
能相邻，小钱和小吴也不能相邻，小李必须在小郑和小王之间(可相邻也可不相邻)．则不同的排列方法共有________种．
【解析】 8名同学站成一排，所有的排法共有8!?40320种，其中小孙和小周相邻的排法，根据“捆绑法”有
2?7!?10080种，小钱和小吴相邻的也有10080种，这两对都相邻的有 2?2?6!?2880 种．根据容斥原理，符合前两个条件的排法有
40320?2?10080?2880?23040 种．在这23040种排法里面，小李、小郑、小王3个人的排列中每
11个人在中间的可能性都相等，所以小李在小郑和小王之间的排法占其中的，即有23040??768033种．
模块二、三量重叠问题
【例 12】 某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共
有26人，手中有蓝旗的共有18人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人．而手中只有红、黄两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么这个班共有多少人？
ACB
【解析】 如图，用A圆表示手中有红旗的，B圆表示手中有黄旗的，C圆表示手中有蓝旗的．如果用手中有
红旗的、有黄旗的与有蓝旗的相加，发现手中只有红、黄两种小旗的各重复计算了一次，应减去，
（34?26?18）（?9?4?3）? 手中有三种颜色小旗的重复计算了二次，也应减去，那么，全班人数为：
6?2?50(人)．
【巩固】 某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢足球，4人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好．问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？
【解析】 由于全班42人没有一个人三种球都不爱好，所以全班至少爱好一种球的有42人．根据包含排除法，
?0，得到既爱打篮球又爱打排球的人数42?（26?17?19）（?9?4?既爱打篮球又爱打排球的人数）为：49?42?7(人)．
7-7.容斥原理.题库 教师版 page 7 of 20
【例 13】 四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，
参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3．5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．求参加文艺小组的人数．．
【解析】 设参加数学小组的学生组成集合A，参加语文小组的学生组成集合B，参加文艺小组的学生组成集合
G．三者都参加的学生有z人．有A?B?C=46，A=24，B=20，C=3.5，A?C=7A?B?C，
B?C=2A?B?C，A?B=10．
因为A?B?C?A?B?C?A?B?A?C?B?C?A?B?C， 所以46=24+20+7x-10-2x-2x+x，解得x=3，
即三者的都参加的有3人．那么参加文艺小组的有3?7=21人．
【巩固】 五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然兴趣小组，35
人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人．求这个班的学生人数．
【解析】 设参加自然兴趣小组的人组成集合A，参加美术兴趣小组的人组成集合日，参加语文兴趣小组的人
组成集合C． A=25，B=35，C=27，B?C=12，A?B =8，A?C=9， A?B?C=4.
A?B?C=A?B?C?A?B?A?C?B?C?A?B?C.
所以，这个班中至少参加一项活动的人有25+35+27-12-8-9+4=62，而这个班每人至少参加一项．即这个班有62人．
【解析】 光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有42人，参
加中国象棋比赛的有55人，参加国际象棋比赛的有33人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有18人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有9人，其中三种棋赛都参加的有5人，问参加棋类比赛的共有多少人？
【解析】 根据包含排除法，先把参加围棋比赛的42人，参加中国象棋比赛的55人与参加国际象棋比赛的33人
加起来，共是42?55?33?130人．把重复加一遍同时参加围棋和中国象棋的18人，同时参加围棋和国际象棋的10人与同时参加中国象棋和国际象棋的9人减去，但是，同时参加了三种棋赛的5人
被加了3次，又被减了3次，其实并未计算在内，应当补上，实际上参加棋类比赛的共有：130?（18?10?9）?5?98(人)．
或者根据学过的公式：A?B?C?A?B?C?A?B?B?C?A?C?A?B?C，参加棋类比赛的总人数为：42?55?33?18?10?9?5?98(人)．
【例 14】 (2008年西城实验考题)新年联欢会上，共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出．如果
7-7.容斥原理.题库 教师版 page 8 of 20
只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人；50人没有参加演奏；10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有________人．
【解析】 设只参加合唱的有x人，那么只参加跳舞的人数为3x，由50人没有参加演奏、10人同时参加了跳
舞和合唱但没有参加演奏，得到只参加合唱的和只参加跳舞的人数和为50?10?40人，即x?3x?40，得x?10，所以只参加合唱的有10人，那么只参加跳舞的人数为30人，又由“同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人”，得到同时参加三项的有3人，所以参加了合唱的人中“同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的”有：40?10?10?3?17人．
【巩固】 五年级三班有46名学生参加三项课外活动，其中24人参加了绘画小组，20人参加了合唱小
组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的2倍，既参加绘画小组又参加合唱小组的有10人，求参加朗诵小组的人数．
【解析】 设三项都参加的人数有X人，则参加朗诵小组的人数为7X人，参加绘画小组又参加朗诵小组的人数
为2X人，参加朗诵小组又参加合唱小组的人数为2X人，于是有46=（24+20+7X-2X-2X-10+X），解得X=3,所以参加朗诵小组的人数为21人．
【巩固】 六年级100名同学，每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项．其中，爱好体育的55人，爱
好文艺的56人，爱好科学的51人，三项都爱好的15人，只爱好体育和科学的4人，只爱好体育和文艺的17人．问：有多少人只爱好科学和文艺两项？只爱好体育的有多少人？
【解析】 只是A类和B类的元素个数，有别于容斥原理Ⅱ中的既是A类又是B类的元数个数．依题意，画图
如下．设只爱好科学和文艺两项的有x人．由容斥原理，列方程得 55?56?51?（17?15）（?4?15）（?x?15）?15?100 即 55?56?51?17?4?x?15?2?100
111?x?100
x?11
只爱好体育的有：55?17?15?4?19(人)．
【例 15】 在某个风和日丽的日子，10个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中6个人带了汉堡，6个人
带了鸡腿，4个人带了芝士蛋糕，有3个人既带了汉堡又带了鸡腿，1个人既带了鸡腿又带了芝士
蛋糕．2个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕．问： ⑴ 三种都带了的有几人？ ⑵ 只带了一种的有几个？
ABC
【解析】 如图，用A圆表示带汉堡的人，B圆表示带鸡腿的人，C圆表示带芝士蛋糕的人．
（带汉堡的人数?带鸡腿的人数?带芝士蛋糕的人数）（?带汉堡、鸡⑴ 根据包含排除法，总人数??三种都带了的人数，即腿的人数?带汉堡、芝士蛋糕的人数?带鸡腿、芝士蛋糕的人数）10?（6?6?4）（?3?2?）1?三种都带了的人数，得三种都带了的人数为：10?10?0(人)．
（3?2?1）?4(人)．只带了一种⑵ 求只带一种的人数，只需从10人中减去带了两种的人数，即10?的有4人．
7-7.容斥原理.题库 教师版 page 9 of 20
【巩固】 盛夏的一天，有10个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙汁的
各有5人；可乐、雪碧都要的有3人；可乐、橙汁都要的有2人；雪碧、橙汁都要的有2人；三样都要的只有1人，证明其中一定有1人这三种饮料都没有要．
【解析】 根据根据包含排除法，至少要了一种饮料的人数?(要可乐的人数?要雪碧的人数?要橙汁的人
数)?(要可乐、雪碧的人数?要可乐、橙汁的人数?要雪碧、橙汁的人数)?三种都要的人数，即至
（5?5?5）（?3?2?2）?1?9(人)．10?9?1(人)，所以其中有1人这三种少要了一种饮料的人数为：
饮料都没有要．
【例 16】 全班有25个学生，其中17人会骑自行车，13人会游泳，8人会滑冰，这三个运动项目没有人全会，
至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀．若全班有6个人数学不及格，那么，
⑴ 数学成绩优秀的有几个学生？ ⑵ 有几个人既会游泳，又会滑冰？
【解析】 ⑴ 有6个数学不及格，那么及格的有：25?6?19(人)，即最多不会超过19人会这三项运动之一．而
（17?13?8）?2?19(人)至少会这三项运动之一．又因为没人全会这三项运动，那么，最少也会有：于
是，至少会三项运动之一的只能是19人，而这19人又不是优秀，说明全班25人中除了19人外，剩下的6名不及格，所以没有数学成绩优秀的．
⑵ 上面分析可知，及格的19人中，每人都会两项运动：会骑车的一定有一部分会游泳，一部分会滑
冰；会游泳的人中若不会骑车就一定会滑冰，而会滑冰的人中若不会骑车就一定会游泳，但既会游泳又会滑冰的人一定不会骑自行车．所以，全班有19?17?2(人)既会游泳又会滑冰．
【巩固】 五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A、B、C、D、E五个小组，若参加A组
的有15人，参加B组的人数仅次于A组，参加C组、D组的人数相同，参加E组的人数最少，只有4人．那么，参加B组的有_______人．
【解析】 参加B，C，D三组的总人数是36?15?4?17(人)，C，D每组至少5人，当C，D每组6 人时，
B组为5人，不符合题意，所以参加B组的有17?5?5?7(人)．
【例 17】 五一班有28位同学，每人至少参加数学、语文、自然课外小组中的一个．其中仅参加数学与语文
小组的人数等于仅参加数学小组的人数，没有同学仅参加语文或仅参加自然小组，恰有6个同学参加数学与自然小组但不参加语文小组，仅参加语文与自然小组的人数是3个小组全参加的人数的5倍，并且知道3个小组全参加的人数是一个不为0的偶数，那么仅参加数学和语文小组的人有多少人？
【解析】 参加3个小组的人数是一个不为0的偶数，如果该数大于或等于4，那么仅参加语文与自然小
组的人数则大于等于20，而仅参加数学与自然小组的人有6个，这样至少应有30人，与题意矛盾，所以参加3个小组的人数为2．仅参加语文与自然小组的人数为10，于是仅参加语文与自然、仅参加数学与自然和参加3个小组的人数一共是18人，剩下的10人是仅参加数学与语文以及仅参加数学的．由于这两个人数相等，所以仅参加数学和语文小组的有5人．
【例 18】 在一个自助果园里，只摘山莓者两倍于只摘李子者；摘了草莓、山莓和李子的人数比只摘李子的
人数多3个；只摘草莓者比摘了山莓和草莓但没有摘李子者多4人；50个人没有摘草莓；11个人摘了山莓和李子但没有摘草莓；总共有60人摘了李子.如果参与采摘水果的总人数是100，你能回答下列问题吗？
① 有 人摘了山莓；
② 有 人同时摘了三种水果； ③ 有 人只摘了山莓；
7-7.容斥原理.题库 教师版 page 10 of 20