【例 29】 在从1到1998的自然数中，能被2整除，但不能被3或7整除的数有多少个？
?a??7?【解析】 表示取商的整数部分．例如，?2??3．要注意的是，符号??与?、?、?、?符号一样，也是?b?????一种运算，叫取整运算．
本题中，先求出能被2整除的数有多少个，再分别求出能被2和3、能被2和7分别整除的数的个数，那么用能被2整除的数的个数减去能被2和3整除的数的个数，再减去能被2和7整除的
数的个数，所得的差是不是所求的得数呢？仔细想想你会发现不是的，因为它多减了能同时被2、3、7整除的数．
故能被2整除的有：1998?2?999(个)．
（2?3）]?333(个)． 能被2和3同时整除的有：[1998?（2?7）]?142． 能被2和7同时整除的有：[1998?（2?3?7）]?47(个)． 能被2、3、7同时整除的有：[1998?所以，能被2整除，但不能被3或7整除的数有999?333?142?47?571(个)．
【例 30】 有2000盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为1，2，3，…，2000，然后
将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后，亮着的灯有多少盏？
【解析】 三次拉完后，亮着的灯包括不是2、3、5的倍数的数以及是6、10、15的倍数但不是30的倍数的数．1～
2000这2000个正整数中，2的倍数有1000个，3的倍数有666个，5的倍数有400个，6的倍数有333个，10的倍数有200个，15的倍数有133个，30的倍数有66个，亮着的灯一共有2000-1000-666-400+2×（333+200+133）-4×66=1002盏．
【巩固】写有1到100编号的灯100盏，亮着排成一排，每一次把编号是3的倍数的灯拉一次开关，第二次
把编号是5的倍数的灯拉一次开关，那么亮着的灯还有多少盏？
【解析】 因为灯在开始的时候是亮着的，所以拉了两次或者没拉的灯最后还是亮的．没拉的灯有
?100??100??100??100?100?(???)?100?(33?20?6)?53(盏)，拉两次的有??????3?5??6(盏)，最后亮着?3??5??3?5???的灯一共为53?6?59(盏)
【例 31】 在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券．按奖券标签号发放奖品的规则如下：
（1）标签号为2的倍数，奖2支铅笔； （2）标签号为3的倍数，奖3支铅笔；
（3）标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖； （4）其他标签号均奖1支铅笔．
那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支?
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【解析】 1～100，2的倍数有?100?=50，3的倍数有?100?=33个，因为既是2的倍数，又是3的倍数的数一
???2???3??定是6的倍数，所以标签为这样的数有?100?=16个．于是，既不是2的倍数，又不是3的倍数的数
??6??在1～100中有100-50-33+16=33．所以，游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有：50×2+33×3+33×1=232支.
【例 32】 在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成十等份；第二种将木棍分成十二等份；
第三种将木棍分成十五等份；如果沿每条刻度线将木棍锯断，则木棍总共被锯成________段．
【解析】 假设木棍长60cm，则沿第一种刻度线锯成的木棍每段长60?10?6cm，沿第二种刻度线锯成的木棍
每段长60?12?5cm，沿第三种刻度线锯成的木棍每段长60?14?4cm．
因为，沿三种刻度线可将木棍分别锯成10、12、15段；沿第一、二种重合的刻度线可将木棍锯成60?[6,5]?2段，沿第一、三种重合的刻度线可将木棍锯成60?[6,4]?5段，沿第二、三种重合的刻度线可将木棍锯成60?[5,4]?3段；沿三种刻度重合的刻度线可将木棍锯成60?[6,5,4]?1段．应该减去重复计算的沿任意两种重合的刻度线锯成的段数，应加上多减去的沿三种刻度重合的刻度线锯成的段数．所以，沿每条刻度线将木棍锯断，则木棍总共被锯成 10?12?15?2?5?3?1?28段．
【例 33】 (2008年101中学考题)一根101厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔2厘米画一个刻度，
第二次每隔3厘米画一个刻度，第三次每隔5厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可以截出 段．
【解析】 要求出截出的段数，应当先求出木棒上的刻度数，而木棒上的刻度数，相当于1、2、3、…、100、
101这101个自然数中2或3或5的倍数的个数，为： ?101??101??101??101??101??101??101??2???3???5???2?3???2?5???3?5???2?3?5??74，故木棒上共有74个刻度，可以截??????????????出75段．
【巩固】一根1.8米长的木棍，从左段开始每隔2厘米画一个刻度，每隔3厘米画一个刻度，每隔5厘米画一
个刻度，每隔7厘米画一个刻度，涂过按刻度把木棍截断，一共可以截成多少段小木棍？
1.8米长的木棍，按2厘米一段画出刻度，那么也就是说所有的偶数点都已经划过了，即2、4、6、【解析】
8、10……共89个点，那么再画3的时候所有的偶数点都已经划过，那么会多出30个点，即3、9、15……，再画5的时候会多出来的点是5、25、35、55、65、85、95、115、125、145、155、175，共12个，最后画间隔7厘米的时候，会多出7、49、77、91、119、133、161共7个点，那么所有的刻度总和应该是89?30?12?7?138个，那么截断之后应该会有139段小木棍．
模块五、容斥原理中的最值问题
【例 34】 将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中，然后把每个
圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？
【解析】 越是中间，被重复计算的越多，最中心的区域被重复计算四次，将数字按从大到小依次填写于
被重复计算多的区格中，最大和为：
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13×4+（12+11+10+9）×3+（8+7+6+5）×2+（4+3+2+1）=240.
【例 35】 如图，5条同样长的线段拼成了一个五角星．如果每条线段上恰有1994个点被染成红色，那么在
这个五角星上红色点最少有多少个?
【解析】 如下图，下图中“?”位置均有两条线段通过，也就是交点，如果这些交点所对应的线段都在“?”
位置恰有红色点，那么在五角星上重叠的红色点最多，所以此时显现的红色点最少，有1994×5-(2-1)×10=9960个．
【例 36】 某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球．那么，这个班至少
有多少学生这三项运动都会？
【解析】 （法1）首先看至少有多少人会游泳、自行车两项，由于会游泳的有27人，会骑自行车的有33人，
而总人数为48人，在会游泳人数和会骑自行车人数确定的情况下，两项都会的学生至少有27?33?48?12人，再看会游泳、自行车以及乒乓球三项的学生人数，至少有12?40?48?4人.
该情况可以用线段图来构造和示意：
23|24总人数游泳自行车游泳0|115|1627|2827人33人40人48|48人
（法2）设三项运动都会的人有x人，只会两项的有y人，只会一项的有z人， 那么根据在统计中会n项运动的学生被统计n次的规律有以下等式： ?3x?2y?z?27?33?40? ?x?y?z?48
?x,y,z?0? 由第一条方程可得到z?100?3x?2y，将其代入第二条式子得到： 100?2x?y?48，即2x?y?52????①
而第二条式子还能得到式子x?y?48，即2x?y?48?x????②
联立①和②得到48?x?52，即x?4．可行情况构造同上．
【巩固】某班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有23人，参加英语竞赛的有20人，每
人最多参加两科，那么参加两科的最多有 人．
【解析】 根据题意可知，该班参加竞赛的共有28?23?20?71人次．由于每人最多参加两科，也就是说有参
加2科的，有参加1科的，也有不参加的，共是71人次．要求参加两科的人数最多，则让这71人次尽可能多地重复，而71?2?35??1，所以至多有35人参加两科，此时还有1人参加1科． 那么是否存在35人参加两科的情况呢？由于此时还有1人是只参加一科的，假设这个人只参加数学一科，那么可知此时参加语文、数学两科的共有(28?22?20)?2?15人，参加语文、英语两科的共
有28?15?13人，参加数学、英语两科的共有20?13?7人．也就是说，此时全班有15人参加语文、数学两科，13人参加语文、英语两科，7人参加数学、英语两科，1人只参加数学1科，还有14人不参加．检验可知符合题设条件．所以35人是可以达到的，则参加两科的最多有35人．（当然本题
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中也可以假设只参加一科的参加的是语文或英语）
234的人会打乒乓球，的人会打羽毛球，的人会打排球，这三项运动都会的人有22人，345问：这三项运动都不会的最多有多少人？
【解析】 设只会打乒乓球和羽毛球两项的人有x人，只会打乒乓球和排球两项的有y人，只会打羽毛球和排
球两项的有z人．由于只会三项运动中的一项的不可能小于0，所以x、y、z有如下关系： 【巩固】60人中有
?40??x?y?22??0? ?45??x?z?22??0
??48??y?z?22??0将三条关系式相加，得到x?y?z?33，而60人当中会至少一项运动的人数有
40?45?48??x?y?z??2?22?56人，所以60人当中三项都不会的人数最多4人（当x、y、z分
别取7、11、15时，不等式组成立）．
【例 37】 在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，
丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问恰好被3个人浇过的花最少有多少盆？
【解析】 为了恰好被3个人浇过的花盆数量最少，那么被四个人浇过的花、两个人浇过的花和一个人浇过的
花数量都要尽量多，那么应该可以知道被四个人浇过的花数量最多是30盆，那么接下来就变成乙浇了45盆，丙浇了50盆，丁浇60盆了，这时共有100?30?70盆花，我们要让这70盆中恰好被3个人浇过的花最少，这就是简单的容斥原理了，恰好被3个人浇过的花最少有45?50?60?140?15盆．
【巩固】 甲、乙、丙同时给100盆花浇水．已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇
过的花最少有多少盆?
【解析】 只考虑甲乙两人情况，有甲、乙都浇过的最少为：78+68-100=46盆，此时甲单独浇过的为78-46=32
盆，乙单独浇过的为68-46=22盆；
欲使甲、乙、丙三人都浇过的花最少时，应将丙浇过的花尽量分散在两端．于是三者都浇过花最少为58-32-22=4盆．
【巩固】 例题中恰好被1个人浇过的花最多有多少盆？ 【解析】 100盆花共被浇水275次，平均每盆被浇2.75次，为了让被浇1次的花多，我们也需要被浇4次的
花尽量多，为30盆，那么余下70盆共被浇155次，平均每盆被浇2.21次，说明需要一些花被浇3次才可以．我们假设70盆都被浇3次，那么多出55次，每盆花少浇2次变为被浇1次最多可以变27次，所以本题答案为27盆．
【例 38】 图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名．已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有
33，44和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本．问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过?
【解析】 设甲借过的书组成集合A，乙借过的书组成集合B，丙借过的书组成集合C．A=33, B=44，C=55，
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A?B=29，A?C=25，B?C=36．
本题只需算出甲、乙、丙中至少有一人借过的书的最大值，再将其与100作差即可．
A?B?C?A?B?C?A?B?A?C?B?C?A?B?C,
当A?B?C最大时，A?B?C有最大值.也就是说当三人都借过的书最多时，甲、乙、丙中至少有一人借过的书最多．
而A?B?C最大不超过A、B、C、A?B、B?C、A?C 6个数中的最小值，所以A?B?C最大为25．此时A?B?C=33+44+55-29-25-36+25=67，即三者至少有一人借过的书最多为67本，所以这批图书中最少有33本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过．
【巩固】甲、乙、丙都在读同-一本故事书，书中有100个故事．每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读．已
知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事．那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有多少个?
【解析】 考虑甲乙两人情况，有甲乙都读过的最少为：75+60-100=35个，此时甲单独读过的为75-35=40个，
乙单独读过的为60-35=25个；欲使甲、乙、丙三人都读过的书最少时，应将丙读过的书尽量分散在某端，于是三者都读过书最少为52-40=12个．
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