④ 有 人摘了李子和草莓，而没有摘山莓； ⑤ 有 人只摘了草莓.
山莓AEGDBFC草莓李子
【解析】 如图，根据题意有
A?2C G?C?3 B?E?4
A?D?C?50 D?11
C?D?F?G?60 A?B?E?40
代入求解：A?26，B?9，C?13，D?11，E?5，F?20，G?16 所以①有A?D?E?G?26?11?5?16?58(人)摘了山莓； ②有16人同时摘了三种水果； ③有26人只摘了山莓；
④有20人摘了李子和草莓，而没有摘山莓； ⑤有9人只摘了草莓.
【例 19】 某学校派出若干名学生参加体育竞技比赛，比赛一共只有三个项目，已知参加长跑、跳高、标枪
三个项目的人数分别为10、15、20人，长跑、跳高、标枪每一项的的参加选手中人中都有五分之一的人还参加了别的比赛项目，求这所学校一共派出多少人参加比赛？
体育55人17文艺56人15x4科学51人
【解析】 由条件可知，参加长跑的人中有2人参加其它项目，参加跳高的人中有3人参加其它项目，参加标
枪的人中有4人还参加别的项目，假设只参加长跑和跳高的人数为x，只参加长跑和标枪的人数为y，只参加标枪和跳高的有z人，三项都参加的有n人.那么有以下方程组：
由条件可知，参加长跑的人中有2人参加其它项目，参加跳高的人中有3人
参加其它项目，参加标枪的人中有4人还参加别的项目，假设只参加长跑和跳高的人数为x，只参加长跑和标枪的人数为y，只参加标枪和跳高的有z人，三项都参加的有n人.那么有以下方程组：
?x?y?n?2?x?z?n?3 ? ? ?z?y?n?4将3条等式相加则有2（x+y+z）+3n=9，由这个等式可以得到，n必须是奇数，所以，n只能是1或3、5、7……，如果n≥3时x、y、z中会出现负数.所以n=1，这样可以求得x=0，y=1，z=2.由此可得到这个学校一共派出了10+15+20-0-1-2-2×1=40人.
将3条等式相加则有2（x+y+z）+3n=9，由这个等式可以得到，n必须是奇数，所以，n只能是1或3、5、7……，如果n≥3时x、y、z中会出现负数.所以n=1，这样可以求得x=0，y=1，z=2.由此可得到这个学校一共派出了10+15+20-0-1-2-2×1=40人.
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模块三、图形中的重叠问题
【例 20】 把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多
长？
【解析】 因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长38?53?4?87(厘
米)．
【巩固】 把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长3厘米，焊接后这根铁条有多长？
【解析】 焊接部分为两根铁条的重合部分，由包含排除法知，焊接后这根铁条长：23?37?3?57(厘米)．
【例 21】 两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方
厘米？
4厘米2厘米图3
【解析】 两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为2厘米的正方形，
如果利用两个4?2的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，被覆盖面积?长方形面积之和-重叠部分．于是，被覆盖面积?4?2?2?2?2?12(平方厘米)．
【巩固】 如图3，一张长8厘米，宽6厘米，另一个正方形边长为6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为
4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．
8646
图3【解析】 两个图形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如
果利用长方形和正方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在长方形和正方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积?长方形面积?正方形面积?重叠部分．于是，组合图形的面积：8?6?6?6?4?4?68(平方厘米)．
【巩固】 一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个
边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．
1284106
【解析】 两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，
如果利用两个长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计
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算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积?长方形面积之和?重叠部分．于是，组合图形的面积?12?8?10?6?4?4?140(平方厘米)．
【例 22】 三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘
米．三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？
A10BC
【解析】 将图中的三个圆标上A、B、C．根据包含排除法，三个纸片盖住桌面的总面积?(A圆面积?B圆
?A与B重合部分面积?A与C重合部分面积?B与C重合部分面积）?三个纸片面积?C圆面积）（（50?50?50）（?A与B重合部分面积?A与C重合部分面积?B与C重合共同重叠的面积，得：100??10，得到A、B、C三个圆两两重合面积之和为：160?100?60平方厘米，而这个面部分面积）积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和，即：60?10?3?阴影部分面积，则阴影部分面积为：60?30?30(平方厘米)．
【巩固】 如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，
5，而3个圆覆盖的总面积为73．求阴影部分的面积．
【解析】 设甲圆组成集合A，乙圆组成集合B，丙圆组成集合C．
A?B?C=30，A?B=6，B?C=8，A?C=5，A?B?C=73，
而A?B?C=A?B?C?A?B?B?C?A?C?A?B?C.
有73=30×3-6-8-5+A?B?C，即A?B?C=2，即甲、乙、丙三者的公共面积(⑧部分面积)为2．那么只是甲与乙(④)，乙与丙(⑥)，甲与丙(⑤)的公共的面积依次为6-2=4，8-2=6，5-2=3，所以有阴
影部分(①、②、③部分之和)的面积为73-4-6-3-2=58．
【例 23】 如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米．阴影部分的面积总
和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？
【解析】 阴影部分是有两块重叠的部分，被计算两次，而三张纸重叠部分是被计算了三次．所以三张纸重叠
（60?3?100?40）?2?20(平方厘米)． 部分的面积?
【巩固】 如图所示，A、B、C分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在
外面的总面积为38．若A与B、B与C的公共部分的面积分别为8、7，A、B、C这三张纸片的公共部分为3．求A与C公共部分的面积是多少？
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BCA
【解析】 设A与C公共部分的面积为x，由包含与排除原理可得：
⑴ 先“包含”：把图形A、B、C的面积相加：12?28?16?56，那么每两个图形的公共部分的面积都重复计算了1次，因此要排除掉． ⑵ 再“排除”：56?8?7?x，这样一来，三个图形的公共部分被全部减掉，因此还要再补回． ⑶ 再“包含”：56?8?7?x?3，这就是三张纸片覆盖的面积． 根据上面的分析得：56?8?7?x?3?38，解得：x?6．
模块四、容斥原理在数论问题中的应用
【例 24】 在1~100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？
AB
【解析】 如图，用长方形表示1~100的全部自然数，A圆表示1~100中3的倍数，B圆表示1~100中5的倍
数，长方形内两圆外的部分表示既不是3的倍数也不是5的倍数的数．
由100?3?33?1可知，1~100中3的倍数有33个；由100?5?20可知，1~100中5的倍数有20个；
（3?5）?6?10可知，1~100既是3的倍数又是5的倍数的数有6个． 由100?由包含排除法，3或5的倍数有：33?20?6?47(个)．从而不是3的倍数也不是5的倍数的数有100?47?53(个)．
【巩固】 在自然数1~100中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？
100?3?33?1，100?5?20，100?（3?5）?6?10．根据包含排除法，能被3或5中任一个整除的【解析】
数有33?20?6?47(个)．
【巩固】 在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？ 【解析】 如图所示，A圆内是前100个自然数中所有能被2整除的数，B圆内是前100个自然数中所有能被3整
除的数，C为前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数．
前100个自然数中能被2整除的数有：100?2?50(个)．由100?3?33?1知，前100个自然数中能
（2?3）?16?4知，前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的被3整除的数有：33个．由100?数有16个．
所以A中有50个数，B中有33个数，C中有16个数．因为A，B都包含C，根据包含排除法得到，能被2或3整除的数有：50?33?16?67(个)．
【例 25】 在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个? 【解析】 1～1000之间，5的倍数有?1000?=200个，7的倍数有?1000?=142个，因为既是5的倍数，又是
???5???7??7的倍数的数一定是35的倍数，所以这样的数有?1000?=28个．
??35??7-7.容斥原理.题库 教师版 page 14 of 20
所以既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有1000-200-142+-28=686个．
【巩固】 求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数． 【解析】 记 A：1～100中3的倍数，100?3?33??1，有33个；
B：1～100中7的倍数，100?7?14??2，有14个；
A?B：1～100中3和7的公倍数，即21的倍数，100?21?4??16，有4个．
依据公式，1～100中3的倍数或7的倍数共有33?14?4?43个，则能被3或7整除的数的个数为43个.
【例 26】 50名同学面向老师站成一行．老师先让大家从左至右按1，2，3，…，49，50依次报数；再让报
数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转．问：现在面向老师的同学还有多少名?
【解析】 在转过两次后，面向老师的同学分成两类：
第一类是标号既不是4的倍数，又不是6的倍数；第二类是标号既是4的倍数又是6的倍数． 1～50之间，4的倍数有?50?=12,6的倍数有?50?=8，即是4的倍数又是6的倍数的数一定
???4???6??是12的倍数，所以有?50?=4．于是，第一类同学有50-12-8+4=34人，第二类同学有4人，
??12??所以现在共有34+4=38名同学面向老师．
【例 27】 以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？
【解析】 以105为分母的最简真分数的分子与105互质，105=3×5×7，所以也是求1到105不是3、5、7倍
数的数有多少个，3的倍数有35个，5的倍数有21个，7的倍数有15个，15的倍数有7个，21的倍数有5个，35的倍数有3个，105的倍数有1个，所以105以内与105互质的数有105-35-21-15+7+5+3-1=48个，显然如果n与105互质，那么（105-n）与n互质，所以以105为分母的48个最简真分数可两个两个凑成1，所以它们的和为24.
【巩固】 分母是385的最简真分数有多少个？并求这些真分数的和. 【解析】 385=5×7×11，不超过385的正整数中被5整除的数有77个；被7整除的数有55个；被11整除的
数有35个；被77整除的数有5个；被35整除的数有11个；被55整除的数有7个；被385整除的数有1个；最简真分数的分子可以有385-77-55-35+5+11+7-1=240.对于某个分数a/385如果是最简真分数的话，那么（385-a）/385也是最简真分数，所以最简真分数可以每两个凑成整数1，所以这些真分数的和为120.
【例 28】 (2008年西城实验考题)在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共
有 个．
?2008??2008??133?95个，5【解析】 1到2008这2008个自然数中，3和5的倍数有?个，3和7的倍数有????15??21??2008??2008??57和7的倍数有?个，3、5和7的倍数有??105??19个．所以，恰好是3、5、7中两个数35????的倍数的共有133?19?95?19?57?19?228个．
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