习 题 5.1
1. 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值： （1）
1?1xdx, （2）?R?RR?xdx22, （3）?2?cosxdx, （4）?1xdx.
0?1解：若x??a,b?时,f(x)?0,则?bf(x)dx在几何上表示由曲线y?f(x)，直线
abx?a,x?b及x轴所围成平面图形的面积. 若x??a,b?时，f(x)?0,则?f(x)dxa在几何
上表示由曲线y?f(x)，直线x?a,x?b及x轴所围平面图形面积的负值. （1）由下图（1）所示，?1?1xdx?(?A1)?A1?0.
y 1 A 1 1 - A O 1 x 1 - 1 ( 1 )
y
1 A A 3 π 5
O A 4 2 π x
- 1
( 3 )
（2）由上图（2）所示，?R?Ry R A 2 O R ?R x ( 2 )
y 1 A6?1 A6O 1 ?1 x (4)
2R?xdx?A2?22πR2.
2πcosxdx?A3?(?A4)?A5?A3?A5?(?A3?A5)?0. （3）由上图（3）所示，?0（4）由上图（4）所示，?1?1xdx?2A6?2?12?1?1?1.
2. 设物体以速度v?2t?1作直线运动，用定积分表示时间t从0到5该物体移动
1
的路程S. 解：s??50(2t?1)dt
b3. 用定积分的定义计算定积分?cdx,其中c为一定常数.
a解：任取分点a?x0?x1?x2???xn?b,把[a,b]分成n个小区间 小区间长度记为[xi?1,xi](i?1,2?n)，
?i=xi-xi?1(i?1,2?n),在每个小区间
?xi?1,xi?上任取一点?i作乘积
nf(?i)??xi的和式：
n?i?1bf(?i)??xi??c?(xi?1i?xi?1)?c(b?a),
n记??max{?xi}, 则?cdx?lim1?i?na??0?i?f(?i)??xi?limc(b?a)?c(b?a)??0.
4. 利用定积分定义计算
?0xdx.
2解：f(x)?x2在[0,1]上连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对?0,1? n等分，分点xi?nin,i?1,2,?,n?1;?i取相应小区间的右端点，故
n2in2in ?f(?i)?xi????xi??x?xi=?()i?1i?1i?1i21ni?1n?11n3n?i
2i?1 =
1n3?16n(n?1)(2n?1) =(1?)(2?)
6nn111当??0时（即n??时），由定积分的定义得： ?x2dx=．
0135. 利用定积分的估值公式，估计定积分?(4x4?2x3?5)dx的值.
?11解：先求f(x)?4x4?2x3?5在??1,1?上的最值，由
f?(x)?16x3?6x2?0, 得x?0或x?比较 f(?1)?11,f(0)?5,f()??8fmin??3271024271024,f(1)?7,fmax?1138.
的大小，知 ，
3由定积分的估值公式，得fmin?[1?(?1)]??1?1(4x?2x?5)dx?fmax??1?(?1)?,
4 2
即 ?27512??1?1(4x?2x?5)dx?22 1x 1243.
6. 利用定积分的性质说明?edx与?exdx，哪个积分值较大？
0 0解：在?0,1?区间内：x?x2?ex?ex 由比较定理： ?exdx? 0 12? 1 0edx
x27. 证明：2e???121??2?12e?x2dx?2。
证明：考虑??12,1??2?上的函数y?e?x，则
y???2xe?x22，令y??0得x?0
当x??????2?1?,0?时，y??0 2?当x??0,1??时，y??0 2?2∴y?e?x在x?0处取最大值y?1，且y?e?x在x??1?1211?121122处取最小值e?12.
故??212edx???212e?x2dx???2121dx，即2e??2?12e?xdx?2。
8. 求函数f(x)?1?x2在闭区间[-1，1]上的平均值. 解：平均值???1?(?1)11?11π?11?xdx??2222?π4
9. 设f(x)在[0，1]上连续且单调递减，试证对任何a?(0,1)有
?a0f(x)dx?a?f(x)dx.
0a1aa1 0 0 0 0a1证明： ?f(x)dx?a?f(x)dx=?f(x)dx?a?f(x)dx?a?f(x)dx ?(1?a)?f(x)dx?a?f(x)dx=(1?a)af(?)?(1?a)af(?)
0aa1 ?(1?a)a[f(?)?f(?)] 其中 0???a,a???1
3
又f(x)单调减，则f(?)?f(?)，故原式得证.
习 题 5-2
1. 计算下列定积分
（1）?2?xdx; （2）?x2|x|dx; （3）?|sinx|dx; (4) ?max{x,1?x}dx.
0?200412π1解：（1）?2?xdx?4?2(2?x)dx??4(x?2)dx?(2x?12x)2?(14x?2x)2?4
002202201（2）?11x4x4117?2x2|x|dx=?0?2(?x3)dx+?0x3dx=?4??24=4+
04?4. （3）?2π0|sinx|dx=?πsinxdx+?2π(?sinx)dx=(?cosx)π2π0π0?cosxπ=2+2=4.
(4) ?11max{x,1?x}dx=?2(1?x)dx?1?400?1xdx25.
2. 计算下列各题： （1）?1x100411x0dx， （2）?1xdx， （3）?ex, （4）?0dx0100dx,
ππ（5）?21x220sinxdx, （6）?0xedx, （7）?0sin(2x?π)dx, （8）?elnx12xdx, （9）?1dx0100?x2,
π（10）?4tanx0cos2xdx,
x1011解：（1）?10x100dx=
101?10101.
34（2）?4x2?141xdx=
2313.
（3）?1x0edx?ex10?e?1. （4）?1990100xdx=
100x1ln100?0ln100.
ππ（5）?20sinxdx??cosx20?1.
4
x21（6）?11x2210xex2dx?12?0ed(x)?e2?e?02.
πππ（7）?220sin(2x?π)dx=
12?0sin(2x?π)d(2x?π)=?12cos(2x?π)2=?1.
0e(8) ?elnxe112xdx=
12?ln1xd(lnx)=
4ln2x?114.
dx=
1x1(9) ?10100?x2100?1dx01?(x=
110arctan10=
1arctan101010.
10)2ππ（10）?4tanxπ40cos2xdx=?tanxd(tanx)=
(tanx)2402=
102.
3. 求下列极限
xtdt（1） lim?1sinπ?x0?arctant?2dt. x?11?cosπx;（2）
xlim???x2?1解：（1）此极限是“00”型未定型，由洛必达法则，得
xπtdt(?xsinπtdt)?lim?1sin1πx1x?11?cosπx=limx?1(1?cosπx)?=limsinx?1?πsinπx?limx?1(?π)??1πx2dt?22（2）0?arctant??型x?2xlim?????x2?1xlim?arctan???1?x2xlimx?1?arctanx?2?1??1???
22xxx1?1arctanx2?2?x2??lim1?1arctanxxlim???xx???x2??2??4
4. 设y??x0(t?1)dt，求y的极小值
解： 当y'??x?1??0，得驻点x?1，
y''?1?0.x?1为极小值点，
极小值y(1)??10(x?1)dx?- 12
?x?1,x?15. 设
f?x???2?1?2?2x,x?1，求?0f?x?dx。
5