（9）?e11lnxdx???1lnxdx??ex
ee1lnxd而 ?111x11lnxdx?xlnx1?dx ?ee?1exe?1?1e?2e?1
?ee1lnxdx?xlnxe1??1dx?e?e?1?1,
故 ?e1e1lnxdx???1lnxdx?lnxdx?1?2?2?2ee?1e?1e.
????（10）?20xsinxdx??xcosx20??2cos20xdx?sinx0?1
4. 利用函数的奇偶性计算下列积分：
1?（1）?(x?1?x2)2dx; (2) ?2?14cos4xdx；
??2 (3)?5x3sin2xa?5x4?2x2?1dx; （4）??a(xcosx?5sinx?2)dx.
解：(1) ?1(x?1?x2)2dx=?11dx?2?1?1?1?1x1?x2dx?2?0?2
??(2) 原式?2?24cos4xdx220?2?0?2cosx?2dx
???2?220?1?cos2x?2dx?2?20?1?2cos2x?cos2x?dx
????2x220?2?20cos2xdx??0?1?cos4x?dx
?????2sin2x21?0??2?4?20cos4xd4x?32??14sin4x2?302?32(3) ∵
xsinxx4?2x2?1为奇函数
3∴?5xsin2x?5x4?2x2?1dx?0
11
（4） 利用定积分的线性性质可得
原式??a?axcosxdx??5sinxdx??aa?a?a2dx
而前两个积分的被积函数都是奇数，故这两个定积分值均为0，
原式??aa?a2dx?2??aldx?4a
5. 如果b?0，且?b1lnxdx?1,求b
解：?blndx?xlnxb??bx?1111xdx?blnb?(b?1)?blnb?b?1
由已知条件得 blnb?b?1?1
blnb?b?0，即blnb?b
?b?0，?lnb?1， 即得b?e。 6.若f(x)在区间[0,1]上连续,证明
??(1)?20f(sinx)dx=?20f(cosx)dx (2)??xf(sinx)dx=
??(sinx)dx02?0f,由此计算 ??xsinx01?cos2xdx
证明：（1）设x??2?t,则dx??dt.且当x?0时，t??2；当x??2,时t?0.
?0dx???0?故 ?2f(sinx)f???t???0??sin???dt??x)dx
2?????f?cost?dt??2?220f(cos（2）设x???t，??00xf(sinx)dx???(??t)f[sin(??t)d(?t)
???0?f(sint)dt???0tf(sint)dt
?
????0xf(sint)dx=
2?0f(sint)dt
利用此公式可得
??xsinxdx?x01?cos2x=
2??sin01?cos2xdx=??2??101?cos2xdcosx2 =????2?arctg(cosx)?0 =
4.
7. 设f?x?在?0,2a?上连续，证明 ?2af?x?dx??a0?f?x??f?02a?x??dx。
证明 ?2a0f?x?dx??a??u0fx?dx??2aafx?dx.令x?2a?u，dx??d，则
?2aaf?x?dx??a0f?2a?u?du??a0f?2a?x?dx
12
故?2a0f?x?dx???f?x??f?2a?x??dx.
0a8. 设f?x?是以?为周期的连续函数，证明：
?0?sin证明 ?2?02?x?x?f?x?dx????2x???f?x?dx。
0??sinx?x?f?x?dx ???sin0x?x?f?x?dx????sin
2?x?x?f?x?dx.
令x???u，则
??2??sinx?x?f?x?dx???sin??0??u????u?f???u?du?sinu?f?u?du ? 故?2?0??u??0? (∵f?x?以?为周期)
?sinx?x?f?x?dx???2x???f?x?dx
0ba?9. 设f??(x)在[a,b]上连续，证明：?xf??(x)dx?[bf?(b)?f(b)]?[af?(a)?f(a)] 证明 利用分部积分法，
babbab?xf??(x)dx??axdf?(x)?[xf?(x)]??af?(x)dx=bf?(b)?af?(a)?f(x)ba
?[bf?(b)?f(b)]?[af?(a)?f(a)]
习 题 5-4
1. 下列解法是否正确？为什么？
1x2?答：不正确.因为
1x2?1dx?ln|x|?1?ln2?ln1?ln2.
在[?1，2]上存在无穷间断点x?0 ，
公式计算，事实上，
dx??2?12?11x1xdx不能直接应用Newton?Leibnizdx??0?11xdx+?201x??dx?lim??1?0???1?11x+lim?2?0???221xdx
?lim??ln(?x)??11+lim??lnx??2
2?1?0?2?0?lim?ln?1+ln2?lim??2不存在,
?1?0?2?0故?2?11xdx发散.
3. 下列广义积分是否收敛？若收敛，则求出其值.
（1）?0
??1x2dx ； （2）???1e?100xdx ；
13
（3）?（5）?（7）?????1?x1?x124dx ； （4）???0dx100?x?2x2
??1(x?1)1xlnx??03dx； （6）???0edx；
??0dx； （8）?????02dx?1?x??1?x?????0?
解：（1）??1x2dx=(?1x)0?lim?x?01x?lim1x???,
x???? ???01x2dx发散.
（2）???1e?100xdx=?e?100x??100?0?(?1e?100100)?1100e?100
1（3）?????1?x1?x24dx?2???01?x1?x24dx?2???0x1x22?1?x2dx?2???011??x????2x??21??d?x??
x???22x?arctg1x??20??2?
（4）?（5）?（6）?（7）???0dx100?x2=
110arctanx10???0??π20.
18??11(x?1)?3xdx?[?31312(x?1)???21]??
??0edx?[?e?3x0]?13
??e??e1xlnxlnx11（8）令x?，则dx??2dtttedx????1d(lnx)?ln(lnx)???
，于是
?1?tt221t2??1?x??1?x????02??dx0??dt1?tt??????1?t??1?t??
02??tdt? 14
∴2? ?从而???02??02dx?1?x??1?x??0? ???????1?x??1?x??1?x??1?x??0202??0??dx??xdx??11?x2dx?arctgx??2
dx?1?x??1?x??2??4。
3.下列广义积分是否收敛？若收敛，则求出其值.
（1）?(x?4)3dx （2） ?06?1arcsinx0x?1?x?dxdx
（3）?610arcsinx1?x?22dx （4）?2ba?x?a??b?x?4?2?b ?a?（收敛的广义积分）
解：（1）?(x?4)3dx =?(x?4)3dx+?(x?4)3dx
0406?1614=3(x?4)34?3(x?4)30?3?32?0?0?33?4?3(32?34)
(2) 令arcsinx?t，dt?11?x?dx2x于是
??220?(3) ?11arcsinx0x?1?x?arcsinx1?x122dx?2?2tdt?t01????24
arcsinx1?x20dx?lim???00?1??dx?lim???00?arcsinxd(arcsinx)
?lim(arcsinx)21??0???0?lim12[arcsin(1??)]?2?2???08。
(4) 令x?acos2t?bsin2t，0?t??2，则
?2?4.证明广义积分 ?证明：当q?1时,bdxa?x?a??b?x?dx(x?a)dxq??b?a?sin2t?0?b?a?costsintdt??
ba当q?1时收敛；当q?1时发散。
b?bax?a??ln(x?a)?a???，发散；
15