cosxet?1（4）lim2x?0x2dt?limecos2x(?sinx)x?02x??12limex?0cos21xsinx???e。 x22、解：G?(x)?sin(1?x3)3(1?x3)??3x2sin(1?x3)3。 3、证明：（1）设f(x)? f?(x)?x?1?2x(x?1)2222xx?12，先f(x)求在[?1,3]上的最大、最小值。
,由f?(x)?0得(?1,3)内驻点x?1，
?(1?x)(1?x)(x?1)22 由f(?1)??0.5,f(1)?0.5,f(3)?0.3知 ?12?f(x)?112,在[?1,3]上积分得?2?1?23?1(?121x)dx??3?1f(x)dx??312?1dx?2。
（2）?dt1?t2xt?y?1??y?2?21x1?ydy???1x1dy1?y?x?dt1?t2?221。
4、解：（1）?22exx?2e?12dx??2d(e?1)e?12?2x?ln(e?1)x?ln(e?1)?ln(e2?2?1)。
（2）?(x?1)(x?2)3x41dx?13?1(x?x?2?22x)dx?111(?2ln2)36。
4（3） ?2?xdx?0?20(2?x)dx?e1?42(x?2)dx?(2x?e122x)0e12?(12x?2x)22?4。
（4） ?e?10ln(x?1)dx??lnudu?ulnue1??u11udu=e?u?e?e?1?1。
1（5）I=?1?xdx?x1?x012210??1xdx1?x2202?2??1x?1x?1220dx??dx1?x20
?122??101?xdx?ln(x?21?x)10?2?ln(1?2)?I
故I?[2?ln(1?2)]。
5、略.
6、解：令et?1?u，则t?ln?1?u2?，dt?当
t?x时，u?2u1?u2du。当t?2ln2时，u?3；
e?1
x 21
∴?2ln2xdte?1t??3e?1x2udu?1?u?u2?2arctgu3e?1x???2??arctg?3??xe?1??6?
从而x?ln2 7、略. 8、略. 9、略.
本章复习题B
（一）选择题
1．D 2．D 3．B 4．C 5．B 6．C 7．D 8．C
（二）填空题
1．0 2．3 3．?（三）
1．利用定积分的性质求极限lim10cosxey 4．f(1) 5．8 6．?1
n???10x1?nx?xdx
解：
?x1?nx?x1dx??10xdx?n1n?1 n?1,2,?
10令n??，有
n?12?0，利用迫敛性得lim11(x?1)2n???x1?nx?xdx?0
2．计算广义积分?[1xln2x?]dx。
1xlnx1p?12解：原式=limp?1??12p[1xlnx2p2?1(x?1)1]dx?lim?[?2p?12pdx??2p1(x?1)1ln22dx]
=lim[?p?1?1lnx?x?1]?lim?[(?p?1ln2?1)?(1lnp?)]?12?。
f(x)dx?M(b?a)。
（四）利用定积分性质：若m?f(x)?M，则有m(b?a)?
?ab22