（1）有一个长方形玻璃鱼缸长为5分米，宽为3分米，高为3分米里面装有2.5分米高的水，现在需要将该该鱼缸内的水倒入一个棱长为3.5分米的正方体鱼缸中，请问是否可以装得下这么多水？如果装得下正方体鱼缸内的水有多高？
（2）有一个长方体的硬纸盒，长为11分米，宽为15分米，高为6分米，现将一个长为12分米，宽为10分米，高为5分米长方体的礼品放入该盒子中，是否可以装的进去？
【知识点3】切割组合对体积的影响
将一个长方体或正方体任意的切割，切开后各部分的体积之和都等于原来长方体的体积。
将几个长方体或正方体随机的组合，组合起来后的立体图形的体积都等于原来各部分的体积之和。 也即切割和组合不会改变原来各部分的体积，只是各部分体积的相加。
例如：将一块体积为30立方米的石头，切割成相同大小的石块刚好可以切出10块，每块石头的体积是多少？
分析：根据切出的每块石头大小相同，可以知道每块石头的体积是相等的，而大石头的体积30立方米，一共贴出10块，所以每块石头的体积为：30÷10=3（立方米） 练习：
（1）将棱长为5厘米的20块小正方体拼成一个长方体，其体积最大是多少？表面积最大是多少？
一、根据切割组合对表面的影响来确定体积的变化
例如：把一个正方体木块截成两个相同的长方体后，表面积增加了32平方分米，原来正方体的表面积是（96）平方分米，体积是（64）立方分米。
分析：根据正方体无论怎么切其都将增加两个完全相同的正方形面，而且每个面的大小都等于原来正方体一个面的面积。因此，正方体一个面的面积为32÷2=16（平方分米），原来正方体的表面积为16×6=96（平方分米）， 根据原来正方体一个面的面积=棱长×棱长=棱长的平方=16，可知4的平方=16所以原来正方体的棱长为4分米，所以，原来正方体的体积为4×4×4=64（立方分米） 练习：
（3）一个长方体，如果高增加3厘米，就成为一个正方体。这时表面积比原来增加了96平方厘米。原来的长方体的体积是多少立方厘米？
（4）一个长方体，把它的高增加3厘米，它就变成一个正方体，并且表面积比原来增加了１２０平方厘米，求原来的体积是多少？
（3）一个长方体，把它的高减少５厘米，它就变成一个正方体，并且表面积比原来减少了２００平方厘米，求原来的体积是多少？
（4）一个长方体正好可以分成三个完全一样的正方体，如果切割下一个正方体，剩下的表面积比原来少了８０平方厘米，求原来长方体的表面积是多少？
（5）一个棱长为１分米的正方体木块切割成棱长是１厘米的小正方体，把切成的所有正方体紧挨着排成一排，可以排多少米？
（6）把一个棱长为１米的正方体木块切割成棱长是１分米的小正方体，把切成的所有正方体紧挨着排成一排，可以排多少米？
（7）把一个棱长为１米的正方体木块切割成棱长是１厘米的小正方体，把切成的所有正方体紧挨着排成一排，可以排多少米？
（8）一个长方体木箱，从里面量长0.6米，宽0.4米，高0.2米，这个长方体木箱内能装（ ）个棱长2分米的正方体物体。
（9）一个长40厘米的长方体，它的横截面是正方形，如果长增加5厘米，表面积就增加80平方厘米，原长方体的体
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积是多少？
【知识点4】砌墙类问题
例如：养殖场需要砌一堵长为30米，宽为24厘米，高位2.5米得墙，需要用长为30厘米，宽为15厘米，厚为5厘米的砖大约多少块？
分析：首先我们需要将墙的体积算出=3000厘米×24厘米×250厘米=18000000平方厘米 其次我们需要将每块砖的体积算出=30厘米×15厘米×5厘米=2250立方厘米
我们只需要计算这堵墙的体积相当于每块砖体积的多少倍即为所需要砖的数量=18000000÷2250=8000（块） 练习：
（1）一块长1.2米,宽6分米,厚3分米的长方体木块,可以截出多少块棱长为3分米的正方体？
（2）一段围墙长为15米，宽为38厘米，高为2.2米，砌这样的墙每平米大约需要385块砖，修这段围墙一共需要多少块砖？
（3）一块钢材体积为2.7立方米，现在将其融化后重新铸成长为1米，底面积为225平方厘米的钢锭，一共可以铸多少块？
【知识点5】填土抬高地面类问题
例如：如图，已知A部分面积为25平方米，B部分面积为36平方米，A处比B处高2米，如果将A处推到与B处同样高，B处大约可以被抬高多少米？A处大约下降多少米？ A 分析：要使A、B两处地面高度相等，就相当于将A处部分体积分摊至AB两 处，但分摊前后A部分体积并没有改变只是占地面积由原来A处面积变为AB B 两处的面积。 A部分体积=25×2=50立方米；分摊到AB两处后体积不变仍为50平方米=AB 处面积和×B处抬高的高度，因此50=（25+36）×H解得H≈0.82米， 所以B处可以被抬高大约0.82米，A处大约下降2－0.82=1.18米。 练习：
（6）一支修路队用90立方米的石子铺一段路，路宽为10米，铺3厘米厚，可以铺多长？
（7）一个棱长是20分米的正方体玻璃容器装满水，然后把水倒入一个长25分米，宽16分米的长方体水箱内，求这时水深多少分米？
（3）把一个棱长6分米的正方体钢锭熔铸成一个长方体钢锭，这个长方体长9分米，宽4分米，求这个长方体钢锭高多少分米？
【知识点6】不规则及液面计算
? 不规则物体体积计算方法
不规则物体的体积由于无法确定其长、宽、高因此无法直接使用体积计算公式来计算其体积。一般不规则物体体积的测定方法采用排水法，也就是将物体放入盛满水的容器中，其排开水的体积就等于该物体的体积。
例如：一个长方体的水槽长18厘米，宽12厘米，高10厘米，里面水深6厘米，将一个不规则的土豆放入后，水面上升到8厘米处，这个土豆的体积是多少？
分析：根据物体排开水的体积等于物体的体积，可知在放入土豆前后水面高度分别为6厘米和8厘米，可见土豆排开
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水的高度为2厘米，因此土豆的体积就等于这部分水的体积=18×12×（8－6）=432平方厘米。 练习： （1）
水面高度为1.5厘米，底面积为30平方分米 水面高度为5厘米 水面高度为6.5厘米 求每颗大球的体积是多少？每颗小球的体积是多少？
(2)每粒玻璃球的体积是多少立方厘米？
80立方厘米 160立方厘米 ? 液面上升或下降类问题 练习：
（1）一个长方体鱼缸，长８０厘米，宽６０厘米，深４０厘米，把一块长３０厘米，宽２４厘米，高１６厘米的铁块浸入在水中，水面将上升多少厘米?
（2）在一个长６０厘米，宽５４厘米，深４５厘米的长方体鱼缸里放入一些水，并在水中浸入一块长１２厘米，宽１８厘米，高１５厘米的铁块，把铁块从水中取出，水面将下降多少厘米？
（3）一个长方体鱼缸，长８０厘米，宽６０厘米，深４０厘米，把一块长３０厘米，宽２４厘米，铁块浸入在水中，水面上升９厘米,求铁块的高。
（4）在一个长６０厘米，宽５４厘米，深４５厘米的长方体鱼缸里放入一些水，并在水中浸入一块长１２厘米，宽１８厘米的铁块，把铁块从水中取出，水面下降５厘米，求铁块的高。
（5）一个长方体鱼缸，长８０厘米，宽６０厘米，深４０厘米，把一块底面边长为２０厘米，高为１２０厘米的铁块直立在水中，水面上升多少厘米？
（6）一个长方体玻璃容器，从里面量长2分米，宽1.5分米，高1.8分米，里面盛了一半水，现在将体积为0.6立方分米的玻璃球全部浸入水中，这时水面高度多少分米？
【知识点7】展开图形拼长方体或正方体
例如：用一张长60厘米，宽40厘米的长方形铁皮，做成一个无盖长方体盒子，做成盒子的容积是多少？
思路一：从四个角上分别剪去一个边长为10厘米的正方形后，观察思考做成的长方体长是（ ），宽是（ ），高是多少？求出它的容积。
思路二：从左边剪下两个边长为10厘米的正方形，然后把这两个正方形焊接到右边，做成一个无盖的长方体，观察思考做成的长方体长是（ ），宽是（ ），高是多少？求出它的容积。
思路三：从这个长方体上先剪下一个连长为40厘米的正方形做底面，然后把剩下的长方体平均分成四个长方形做前后左右面这样做成一个无盖长方体，观察思考做成的长方体长是（ ），宽是（ ），高是多少？求出它的容积。
【知识点9】棱长变化对体积的影响
? 正方体
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正方体的棱长扩大2倍，其棱长和也扩大2倍，表面积扩大4倍，体积扩大8倍； 正方体的棱长扩大3倍，其棱长和也扩大3倍，表面积扩大9倍，体积扩大27倍； 正方体的棱长扩大n倍，其棱长和也扩大n倍，表面积扩大n2倍，体积扩大n3倍。 ? 长方体
长方体的长宽高同时扩大2倍，其棱长和也扩大2倍，表面积扩大4倍，体积扩大8倍； 长方体的长宽高同时扩大3倍，其棱长和也扩大3倍，表面积扩大9倍，体积扩大27倍； 长方体的长宽高同时扩大n倍，其棱长和也扩大n倍，表面积扩大n2倍，体积扩大n3倍。
长方体的长扩大a倍，宽扩大b倍，高扩大c倍，棱长和变化无规律，表面积变化也无规律，体积扩大a×b×c倍。 长方体的长扩大a倍，宽扩大b倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大a×b倍 。 长方体的宽扩大b倍，高扩大c倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大b×c倍 。 长方体的长扩大a倍，高扩大c倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大a×c倍 。 练习：
（1）正方体棱长扩大2倍，表面积扩大（ ）倍，体积扩大（ ）倍
（2）长方体的长扩大2倍，宽扩大3倍，高扩大4倍，体积扩大（ ）倍。 5、一个棱长1米的大正方体能分成（ ）个棱长是1厘米的小正方体，如果把这些小正方体排成一排能排（ ）米。
（3）一个表面积为36平方厘米的正方体木块，切成两个长方体，表面积增加了（ ）平方厘米。 （4）一个正方体棱长缩小2倍，表面积缩小（ ）倍，体积缩小（ ）倍。
（5）长方体的长、宽、高各缩小为原来的一半，它的体积会缩小为原来的（ ）倍。
（6）长方体的长扩大为原来的2倍，宽不变，高缩小为原来的一半，体积（ ）。 （7）一个长方体的底面积为14立方分米，如果它的高增加5分米，体积增加（ ）。
（8）一个长方体的长是a米，宽是b米，高是h米，如果把它的高增加2米，新的长方体的体积比原来长方体的体积增加（ ）立方米。
四、容积与体积的异同 【知识点1】容积和体积的差异
相同点 计算公式相同 不同点 从容器内部测量 容积指容器内部体积 计量单位通常为L、ml 从容器外部测量 容积 V=sh 体积 V=abh 体积指容器外部体积，或所容纳物体的体积 计量单位通常为m、dm、cm、mm 练习：
（1）一个长方体鱼缸从外面量长宽高分别为5分米、2.5分米、3分米，，从里面量长宽高分别为4.9分米、2.4分米、2.9分米，这个鱼缸的容积是（ ），体积是（ ），如果鱼缸中装满水，水的体积是（ ）。 （2）一个仓库能容纳150立方米的大米，这个仓库的（ ），是150立方米。 【知识点2】容积和体积的大小关系
一般情况下视为容积等于体积，其前提条件是容器壁厚度忽略不计。 也就是说容积≤体积 在考虑容器壁厚度的情况下，容积是比体积小的。
练习：
（1）一个长方体水箱，从外面量长5分2米，宽1.5米，高1米，水箱厚度为5厘米，将水箱内装满水，水的体积是多少？水箱的容积是多少？
（2）一个长方体的水池，从里面量长是7.5米，比高长2.1米，宽比高多1.4米，若水池里的水面距水池底0.82米，水池里蓄了多少升水？
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四 分数的意义和性质
分数的产生
分数的意义 分数与意义 ：把单位1平均分成几份，表示其中的一份或几份
分数与除法 ：分子（被除数），分母（除数），分数值（商）
真分数 真分数小于1
真分数与假分数 假分数 假分数大于1或等于1.
带分数 （整数部分和真分数）
假分数化带分数、整数（分子除以分母，商作整数部分 余数作分子） 分数的基本性质：分数的分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数，
分数的基本性质 分数的大小不变。
通分、通分子：化成分母不同，大小不变的分数（通分）
最大公因数
约 分 求最大公因数
最简分数 分子分母互质的分数（最简真分数、最简假分数） 约分及其方法 最小公倍数
通 分 求最小公倍数
分数比大小 （通分、通分子、化成小数） 通分及其方法
小数化分数 小数化成分母是10、100、1000的分数再化简
分数和小数的互化
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