第七章 有限冲激响应数字滤波器的设计
（ Design of FIR Filters）
7.1 数字滤波器设计概述
7.1.1 滤波原理
滤波器，顾名思义，就是对输入信号起到滤波的作用的系统。
滤波器
图7.1 线性移不变系统
这里的“波”指的是一定波长或频率的信号，因此，所谓滤波，通常是指通过某种变换或运算，用以改变输入信号中所含频率分量的相对比例，以达到将某些频率成分的信号滤除而保留下另一些频率成分的信号的目的。
若滤波器的输入、输出都是离散的，则系统（滤波器）的冲激响应也是离散的，这样的滤波器器就称之为数字滤波器（digital filter）。
一个输入序列x(n)，通过一个单位冲激响应为h(n)的线性时不变系统后，其输出响应y(n)为
y(n)?x(n)?h(n)?将上式两边经过傅里叶变换，可得
n????h(m)x(n?m) （7.1）
?Y(j?)?X(j?)H(j?) （7.2）
式中，Y(jω)、X(jω)分别为输出序列和输入序列的频谱函数，H(jω)是系统的频率响应函数。
可以看出，输入序列的频谱X(jω)经过滤波后，变为X(jω)H(jω)。如果|H(jω)|的值在某些频率上是比较小的，则输入信号中的这些频率分量在输出信号中将被抑制掉。因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择H(jω)，使得滤波后的X(jω)H(jω)符合人们的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。
如图7.2所示，具有图7.2(a)的频率成分的信号通过具有图7.2(b)的幅频响应的系统（滤波器）后，输出信号就只有|?|??c的频率成分，而不再含有|?|??c的频率成分。
１
|X(jω)| |H(jω)| |Y(jω)| 0 ωc 2π 0 ωc 2π 0 ωc 2π
（a）输入信号频谱 （b）系统（滤波器）的幅频响应 （c）输出信号的频谱
图7.2 滤波器滤波示意图
数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统。它将输入的数字序列通过特定运算转变为输出的数字序列。因此， 数字滤波器本质上是一台完成特定运算的数字计算机。
数字滤波器通常采用有限精度算法，它可以按照某种算法编写软件，在计算机或专用数字信号处理（DSP）芯片上实现，也可以按照算法选用硬件实现。
数字滤波器是数字信号处理的重要基础，在对信号的过滤、检测与参数的估计等处理中, 数字滤波器是使用最广泛的线性系统。
与模拟滤波器相比，数字滤波器具有精度高、稳定性好、灵活性大、体积小且没有苛刻的匹配要求等优点。 随着计算机、超大规模集成电路技术的发展，数字滤波器的应用愈加广泛。
7.1.2 滤波器的分类
与模拟滤波器类似，数字滤波器按频率特性也有四种，即低通（Low Pass）、高通（High Pass）、带通（Band Pass）和带阻（Band stop）滤波器，滤波器的性能指标通常也习惯在频域给出。
常用数字滤波器的幅度特性示意图如图7.3所示。与模拟滤波器不同的是，由于序列的傅里叶变换具有以2π为周期的周期性，因此，数字滤波器的频率响应也有这种周期性。 低通滤波器的通带处于0或2π的整数倍频率附近，高通滤波器的通带则处于π的奇数倍频率附近。
满足奈奎斯特采样定理时，信号的频率特性只能限带于|ω|<π的范围。因此，我们只需画出2π范围内的频谱即可。由图7.3可知，理想低通滤波器选择出输入信号中的低频分量，而把输入信号频率在ωc<ω≤π范围内所有分量全部滤掉。相反地，理想高通滤波器使输入信号中频率在ωc≤ω≤π范围内的所有分量不失真地通过，而滤掉低于ωc的低频分量。带通滤波器只保留介于低频和高频之间的频率分量。
２
低通|H(jωj?)| |H(e)|－2?－?高通0|H(ej?)|() ????－2?－?0????带通|H(jωj?)| |H(e)|－2?－?带阻0????ω|H)| (ej?)|－2?－?0????
图7.3 各种数字滤波器的幅度特性
7.1.3滤波器的技术指标
1、理想滤波器的不可实现性
图7.3所示的理想滤波器的幅度特性是理想的。它有理想、陡截止的通带和无穷大衰减的阻带两个范围（即从通带到阻带是突变的），这在物理上是无法实现的，因为它们的单位冲激响应均是非因果和无限长的（例如，理想截止频率为ωc的低通滤波器的单位冲激响应为hd(n)?sin(?cn)/n?,???n??）。
为了在物理上能够实现，在实际中，我们设计的滤波器只能是在某些准则下对理想滤波器的逼近。这保证了滤波器是物理上可实现的（或者说是因果的）、稳定的。
2、实际设计的考虑---因果逼近
理想滤波器不可实现的原因是它从一个频带（通带Passband或阻带Stopband）到另一个频带（阻带或通带）是突变的。为了在物理上可以实现，可以从一个频带到另一个频带之间设立一个过渡带，且通带和阻带也不是严格的1或0，而是有一定的波动，这种波动应该满足一定的容限。
也就是说，实际设计的滤波器，是用一种因果可实现的滤波器去对理想滤波器的逼近，滤波器的性能要求往往以频率响应的幅度特性的允许误差来表征，也就是说，这种逼近应满
３
足给定的误差容限。一个实际滤波器的幅度特性在通带中允许有一定的波动，阻带衰减则应大于给定的衰减要求，且在通带与阻带之间允许有一定宽度的过渡带(Transition band)，过渡带宽也要满足一定的要求。
图7.4示出了一个实际低通滤波器的幅度特性，特性曲线中有通带、过渡带和阻带三个区间。通带范围是0≤ω≤ωp，在通带内，幅度特性以误差δ1逼近于1，即?
1??1?|H(j?)|?1??1|?|??p （7.3）
ωp称为通带截止频率。阻带范围是ωs≤ω≤π，ωs则称为阻带截止频率。在阻带内，幅度特性以最大误差δ2逼近于零，即?
|H(j?)|??2?s?|?|?π （7.4）
在通带与阻带之间的区域：ωp<ω<ωs，则称为过渡带，一般要求幅度特性在过渡带内单调下降。
?|H(ejω)|) H(j1＋?11－?10.5 阻带?2?通带过渡带?pω c?s??图7.4 实际低通滤波器的幅度特性
通带内衰减（波动）和阻带衰减（波动）通常用分贝表示， 对于图7.4， 我们令
?|H(j0)|??|H(j0)|??p?10lg???20lg??dB|H(j?)||H(j?)|????pp???? （7.5） ?|H(j0)|??|H(j0)|??s?10lg??20lg???dB|H(j?)||H(j?)|ss????αp和αs分别称为通带最大衰减和阻带最小衰减。如果20lg22|H(j0)|?3dB， 则称ωc
|H(j?c)|为3dB截止频率。（注意，这里的指标都是和|H(j0)|）比较得出，而不是与最大幅度值比较得出的）。
４
7.1.4 滤波器的相位特性要求
滤波器的频率特性除了幅度特性外，还有相位特性?(?)。 一般对?(?)并无过多要求，只要保证滤波器稳定就可以了。 但在有些场合要求?(?)具有一定的性质，如线性相位特性。
如果滤波器的相位响应是非线性的，那么，信号通过滤波器后会发生波形失真，这在许多应用中是不允许的。例如，在通信应用中，调幅信号总是在包络中携带信息，不允许包络波形在通过滤波器后发生任何失真；在电视信号中，视频图像的边缘将因滤波器的非线性相位而变得模糊；在雷达应用中，脉冲信号的陡峭上升边缘将因滤波器的非线性相位而变得平缓，导致雷达的目标探测和测距精度下降。因此，许多应用中要求数字滤波器具有线性相位特性。
下面，我们分析滤波器相位特性对信号的影响。 设滤波器的频率响应为
H(j?)?|H(j?)|ej?(j?)
设输入信号为x(n)，其频谱为
X(j?)?|X(j?)|ej?x(j?)
则输入信号为x(n)通过滤波器后的输出信号y(n)的频谱为
Y(j?)?X(j?)H(j?)?|X(j?)|ej?x(j?)|H(j?)|ej?(j?)?|X(j?)||H(j?)|ej[?x(j?)??(j?)]?|Y(j?)|e其中
j?y(j?)
|Y(j?)|?|X(j?)||H(j?)|
?y(j?)??x(j?)??(j?)
分别是输出信号的幅度谱和相位谱。上式说明，对于任一给定频率ω，输出信号的幅度等于输入信号的幅度与滤波器增益的乘积；而输出信号的相位等于输入信号的相位与滤波器相位响应的和。
1、相位特性对正弦信号的影响 对于一个单频信号，即正弦信号
x(n)?Acos(?0n)
滤波器的输出信号仍为频率为ω0的正弦信号：
y(n)?A|H(j?0)|cos[?0n??(?0)]
可见，正弦信号通过滤波器后，输出信号的幅度和相位均发生了变化。幅度被|H(j?0)|
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