加权，而相位则产生了滞后?(?0)。
将上式改写如下
y(n)?A|H(j?0)|cos{?0[n??(?0)/?0]}
则可看出，相位滞后?(?0)使输出信号较输入信号产生了延时：
?p(?0)???(?0)/?0 （7.6）
负号表示相位滞后。（the phase delay）?p(?0)则称为滤波器在数字频率ω0上的相位延时简称相延时。因此，输出信号可写为
y(n)?A|H(j?0)|cos{?0[n??(?0)]}
2、相位失真、相延时
由于滤波器的相位滞后是频率的函数，所以相延时也是频率的函数。一般情况下，输入信号是包含许多频率成分的复杂信号，如果不同频率分量通过滤波器的相延时不同，那么，输出信号相对于输入信号就会产生失真，称为相位失真。
为确保不产生相位失真，则需要系统对不同的频率分量产生的相延时相同。这只有两种情况：1）没有延时，即?p(?0)?0，但这不可能。因为信号通过任何实际的物理系统都会有延时。2）延时是常数，即?p(?0)?k。
对于后一种情况，对于任何频率成分的信号，延时都相同，也就是说，输入信号的所有频率分量通过系统后将同时出现在输出端。在这种情况下，由式（7.6）可见，滤波器的相位特性必须是线性的，即：
?(?)??k?
因此，为了使信号通过滤波器后不产生相位失真，要求滤波器的相位特性是线性的。（实际设计滤波器时，可能难以做到总是线性的相位特性，但如果能得到近似的线性相位，也能使相位失真很小）。
3、群延时（group phase delay）
群延时定义为相位响应对频率的导数的负值，即
?g(?0)??d?(?)/d? （7.7）
引入群延时的概念有助于对解释滤波器相位特性非线性的含义。
由上式可见，若要求群延时是常数?g(?0)?k，则
?(?)??k? （7.8）
（这与相延时相同，相位响应是通过坐标原点的一条直线） 或
６
?(?)??k???0 （7.9）
即：相位响应可以不通过坐标原点。
(在载波印制调幅波或调幅波通过滤波器时，相延时指的是载波的延时，而群延时指的是包络延时，因此，常常称群延时为包络延时)。
例7.1：设输入信号为
111x(n)?sin(n?/30)?sin(n?/10)?sin(n?/6)?sin(7n?/30)
357可见，它是由4个频率分量组成的，数字角频率分别为?/30,?/10,?/6,7?/30。 若信号分别通过如下滤波器
?1|?|?8?/30（1）低通滤波器，频率响应为的幅度特性为|H(j?)|??，而相位特性
0others?是线性的，即?(?)??4?。
（2）幅度特性同（1），但相位特性是?(?)??2?/15 试分析各自的输出信号。
（3）同（1），但?(?)??4?2
解：
（1）滤波器的通带截至频率是8?/30，而信号的最高频率是7?/30。因此，信号的所有分量均通过该滤波器，幅度增益是1。而滤波器的相位特性是线性相位的，其群延时是
?g(?0)??d?(?)/d???d(?4?)/d??4
因此，输出信号为
1y1(n)?sin((n?4)?/30)?sin((n?4)?/10)3
11?sin((n?4)?/6)?sin(7(n?4)n?/30)?x(n?4)57输出信号除了有一时延外，没有失真，如图7.5所示。
（2）同（1）信号的所有分量均通过该滤波器，幅度增益是1。但滤波器的相位特性是固定的（非线性）。此时
1y2(n)?sin(n?/30?2?/15)?sin(n?/10?2?/15)3
11?sin(n?/6?2?/15)?sin(7n?/30?2?/15)57如图7.5所示，输出信号相比于输入信号很不相同，有较大失真。但这种失真是可以通过技
术手段去掉
７
（3）根据y(n)?A|H(j?0)|cos[?0n??(?0)] 可求得
1y3(n)?sin(n?/30?4(?/30)2)?sin(n?/10?4(?/10)2)3
11?sin((n?/6?4(?/6)2)?sin(7n?/30?4(7?/30)2)57如图7.5所示，输出信号相比于输入信号很不相同，有较大失真。这种失真难以消除。
延时4
图7.5 例7.1的波形
7.1.5 滤波器的实现-----FIR型滤波器和IIR型滤波器
数字滤波器按单位冲激响应h(n)的时域特性可分为无限冲激响应IIR（Infinite Impulse Response）滤波器和有限冲激响应FIR（Finite Impulse Response）滤波器。
IIR滤波器一般采用递归型的实现结构。其N阶递归型数字滤波器的差分方程为
y(n)??bix(n?i)??aky(n?k) （7.10）
i?0k?1MN相应的系统函数为：
８
H(z)??bzii?0Nk?1M?i （7.11）
1??akz?k上式中若ak≠0(k=1, …,N)，该滤波器为IIR滤波器，是递归型滤波器。其差分方程及系统函数即为式（7.10）和式（7.11）。
若ak=0(k=1,…,N)， 该滤波器为FIR滤波器，是非递归型滤波器。此时，其差分方程及系统函数分别为：
差分方程: y(n)??bx(n?i) （7.12）
ii?0M系统函数：H(z)? 1) 2) 3)
?bzii?0M?i （7.13）
7.1.6 滤波器的设计的基本步骤
综上述，滤波器的设计的基本步骤如下：
按照实际任务要求，确定滤波器的性能指标。
根据不同要求确定采用IIR系统函数，还是用FIR系统函数去逼近。
用一个因果稳定的离散线性时不变系统的系统函数去逼近这一性能要求。即确定式（7.7）或（7.8）中的阶数M、N及系数ai,bi。
4) 利用有限精度算法来实现这个系统函数。这里包括选择运算结构（如第4章中的各种基
本结构），选择合适的字长（包括系数量化及输入变量、中间变量和输出变量的量化）以及有效数字的处理方法（舍入、截尾）等。
5) 验证：验证设计的滤波器是否满足给定的性能指标，如果不满足则重复2）~4）。
９
§7.2 FIR滤波器设计概述及结构
7.2.1 FIR滤波器的特点
FIR在数字滤波器处理中有及其重要的作用，因为它具有如下优点：
1) 很容易获得严格的线性相位特性，避免被处理的信号产生相位失真。在有些场合，如图
像处理和数据传输，要求信道具有线性相位。（第8章所介绍的IIR滤波器则很难做到系统的相频特性的线性性，一般而言，IIR滤波器的相位特性是非线性的，如果需要IIR滤波器的相位特性具有线性性，则需加一全通网络对相位特性加以校正）。
2) FIR滤波器是稳定的，因为这样的系统的单位冲激响应的长度是有限长的，易证其单位
冲激响应满足绝对可和的条件。在有限Z平面上，系统函数只有零点，而极点仅在z=0处。
3) 经过适当的延迟，一个非因果的FIR滤波器都能变成因果的FIR滤波器，因为一个非
因果的有限长序列经过适当延迟可以变成因果的有限长序列。而这种延迟（位移）不影响设计的系统的幅度特性，在相位特性上，也仅是加了一个线性相位而已，因此，不影响系统的性能。
4) FIR滤波器的单位冲激响应是有限长的，因而可以采用FFT算法来实现，从而可大大提
高运算效率。
5) 但是，FIR数字滤波器的优点是用较高的阶数的代价换来的（相对于IIR滤波器）。因
此，在保证相同性能的前提下，降低FIR数字滤波器的阶数是设计中的重要问题。
7.2.2 FIR滤波器的主要设计方法
目前，设计FIR数字滤波器的方法主要有（1）窗口法；（2）频率抽样法；（3）等波纹优化设计法，其中包括Remez方法和线性规划设计方法。
根据FIR数字滤波器的结构形式，又称其为卷积滤波器，滑动平移滤波器，横向滤波器和非递归型滤波器等。
因为最感兴趣的是线性相位的FIR滤波器，非线性相位的滤波器一般可采用IIR结构，因此，本章中，我们主要讨论线性相位FIR滤波器的设计方法。本章中，所采用的设计方法也适合于非线性FIR滤波器，只不过非线性FIR滤波器无需满足线性相位要求而已。
在本章中，首先讨论FIR滤波器实现线性相位特性的条件以及线性相位FIR滤波器的特点，然后讨论窗口法和频率抽样设计法，最后简单介绍一下优化设计方法。
7.2.3 FIR滤波器的结构
FIR滤波器的差分方程及系统函数分别为：
y(n)??bix(n?1)
i?0N?1Y(z)N?1?nH(z)???bnz
X(z)n?0这种系统结构中无反馈环节，因此称为非递归系统；又因为该系统的冲激响应h(n)是有限长序列，所以又称为有限冲激响应（Finite Impulse Response----FIR）系统。
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