当N为奇数时（如图所示），只有一个实根z=r，对应于一个一阶网络H0(z)。这时的
H(z)为
H(z)?(1?rzN?N1)N(N?1)/2??H(z)?H(z)?k?0? （7.21）
k?1??显然，N等于奇数时的频率采样修正结构由一个一阶网络结构和(N-1)/2个二阶网络结构组
成。
一般来说，当采样点数N较大时，频率采样结构比较复杂，所需的乘法器和延时器比较多。但在以下两种情况下，使用频率采样结构比较经济。 ?
（1）对于窄带滤波器，其多数采样值H(k)为零，谐振器柜中只剩下几个所需要的谐振器。这时采用频率采样结构比直接型结构所用的乘法器少，当然存储器还是要比直接型用得多一些。 （2）在需要同时使用很多并列的滤波器的情况下，这些并列的滤波器可以采用频率采样结构，并且可以共用梳状滤波器和谐振柜，只要将各谐振器的输出适当加权组合就能组成各个并列的滤波器。
7.2.3.4 快速卷积型结构
根据循环卷积和线性卷积的关系可知，两个长度分别为N1和N2的序列的线性卷积，可以用这两个序列的L（?N1?N2?1）点的循环卷积来实现。
由FIR滤波器的直接型结构：滤波器的输出信号y(n)是输入信号x(n)和滤波器单位冲激响应h(n)的线性卷积。所以，对有限长序列x(n), 我们可以通过补零的方法延长x(n)和
h(n)序列，然后计算它们的循环卷积，从而得到FIR系统的输出y(n)。
实际上，循环卷积通常不在时域上实现，而是利用循环卷积定理，采用DFT或FFT实现有限长序列x(n)和h(n)的线性卷积，如图7.12所示。图中L?N1?N2?1。若采用FFT来实现，L还需满足一定条件，如基2FFT则需L?2，M是整数。显然，由于采用FFT的方法来实现卷积，因此当N1和N2足够长时，处理速度将大大提高，因此，称为快速卷积结构。
对x(n)为无限长的一般情况，可用重叠相加法或重叠保留法实现FIR滤波器的快速卷积结构。
M１６
x(n)L 点FFTX(k)X(k)·H(k)H(k)L 点FFTh(n)L 点IFFTy(n)图 7.12 FIR的快速卷积型结构
具体过程如下：
1、将x(n)和h(n)补零变成长为L的序列，L?N1?N2?1，L?2
M?h(n)0?n?N2?1?x(n)0?n?N1?1h(n)?， x(n)???0N?n?L?10N?n?L?1?2?12、将x(n)和h(n)分别做L点DFT（或FFT）得X(k),H(k),k?0,1,?,L?1 3、将X(k)和H(k)相乘得Y(k)?X(k)H(k),k?0,1,?,L?1 4、 对Y(k)做L点IDFT（或IFFT）得y(n),n?0,1,?,L?1
7.2.3.5 线性相位FIR滤波器结构
FIR结构可设计线性相位的数字滤波器，这种滤波器在数据传输、图像处理等系统中是重要的，对于这种形式的滤波器，由于对滤波器系数h(n)有特殊要求，因此结构上也有所不同。详见下节。
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§7.3线性相位FIR数字滤波器的条件、特点及结构
一、常用FIR滤波器的特点及线性相位条件的引出
在讨论线性相位FIR数字滤波器的条件之前，我们先讨论几种常用FIR滤波器的特点。这些滤波器既包括了一般意义下的高通、低通、带通等数字滤波器，也包括希尔波特（Hilbert）变换器和微分器。
1、低通滤波器的时域特性
理想低通滤波器的幅度特性如图7.13所示
H(j?)?????c0?c?
图7.13 理想低通滤波器的幅度特性
不妨假设相位特性是?(j?)?0，则，理想滤波器的频率特性是
?1??c????c （7.22） H(j?)??其他?0可求得其单位冲激响应为
1hd(n)?2?如图7.14所示。
??e?c?cj?nd?=sin(?cn)/n? （7.23）
图7.14 理想低通滤波器的单位冲激响应（?c??/2）
１８
显然，理想低通滤波器的冲激响应为hd(n)?sin(?c0n)/n?，是偶对称的，无限长的。 同样，理想高通、带通等一般滤波器的冲激响应hd(n)也是偶对称的。将hd(n)延迟
??(N?1)/2后，以?为中心对称截取N点而得h(n)。则满足关系式h(n)=h(N-1-n)，既是
h(n)关于对称中心??(N?1)/2是偶对称的。
（为什么要位移（N-1）/2 ？请思考。因为FIR的单位冲激响应是有限长的，假设是N点，则FIR系数的一种选取方法是从h（n）中选取N点。而h（n）的较大值一般在n=0附近，故应在n=0附近截取N点。为保证对称性及因果性，则要位移（N-1）/2点）
位移后，滤波器的的频率相应近似为
?e-j??H(j?)???0可见，其相位特性是线性的。
??c????c其他 （7.24）
同理，可以证明具有线性相位特性?(?)????的理想高通、理想带通滤波器的时域相应也满足：h(n)=h(N-1-n)。
2、希尔波特变换器的时域特性
理想希尔波特变换器的频率特性为：
??j0???? (7.25) HD(j?)??j?????0?其幅频特性及相频特性如图7.15所示
φ (jω) π/2 1 |H(jω)| -π -π π
（a）幅频特性 （b）相频特性
图7.15 希尔伯特变换器的频率特性
其冲激响应为
ω -π/2 π ω 1hd(n)?2?
??je?0j?n1d??2???0jej?nd??2sin2[?n?n]2 (7.26)
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显然它是奇对称的。将其右移??(N?1)/2后，频率特性为
??je?j(N?1?)HD(j?)???j(N?1?)?jesin2[/2/20?????????0 （7.27）
相应的冲激响应为
?(n??)2hd(n)?2]0?n?N?1 (7.28)
?n??以??(N?1)/2为中心，对称截取N点得
h(n)?2sin2[?(n??)2]0?n?N?1 (7.29)
?n??满足关系式h(n)??h(n?1?n)，即是奇对称的。相应的频率特性如式（7.27）所示，可见，其相频特性为
???/2?(N?1)?/20?????D(j?)?? （7.30）
?/2?(N?1)?/2?????0?显然是线性的。
3、理想微分器
理想微分器的频率特性如图7.16所示，
|H(jω)| π 0 φ (jω) π/2 -π -π π ω -π
π ω
（a）幅频特性 （b）相频特性
图7.16 理想微分器的频率特性
理想微分器的冲激响应位移??(N?1)/2为后的频率特性为
HD(j?)?j?e?j(N?1)?/2其相位特性是线性的：
?????? (7.31)
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