2013高考数学高频考点抢分练
——数列
数列是高中代数的重要内容之一，由于它既具有函数特征，又能构成独特的递推关系，使得它既与中学数学其他部分知识如：函数、方程、不等式、解析几何、二项式定理等有较紧密的联系，又有自己鲜明的特征，因此它是历年高考考查的重点、热点和难点，在高考中占有极其重要的地位.试题往往综合性强、难度大，承载着考查学生数学思维能力和分析、建模、解决问题的能力以及函数与方程的思想、转化与化归的思想、分类讨论的思想.通过对2011年高考试题的研究，本专题在高考试题中占有较大比重，分值约占总分的12%，大多为一道选择题或填空题，一道解答题.试题注重基础，着重考查等差、等比数列的通项公式、前n项和公式、数学归纳法及应用问题，选择题和填空题，突出“小、巧、活”的特点.而解答题大多为中等以上难度的试题或难度大的压轴题。
高频考点总结 考点一 等差、等比数列的概念与性质
例1：已知{an}为等比数列，且a3?a6?36,a4?a7?18.（1）若an?数列{an}的前n项和为Sn，求S8.
?a1?1281n?1?n?1a?128?() 解：设an?a1q，由题意，解之得?，进而1n2?q??212，求n；（2）设
（1）由an?128?()21n?1?12，解得n?9.
（2）Sn?a1(1?q)1?qn181n?256[1?()]?S8?256[1?()]?255.
22 关于等差、等比数列的问题，首先应抓住a1，d，q，通过列方程组来解．此方法具有极大的普遍性，需用心掌握，但有时运算繁杂，要注意计算的正确性；若能恰当地运用性质，可减少运算量．
例2：设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6+15=0。
（Ⅰ）若S5=5，求S6及a1；（Ⅱ）求d的取值范围。
在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。 考点二 求数列的通项与求和
例3. 已知数列{an}满足a1?0且Sn?1?2Sn?a2,a3,并证明:
an?1?2an?n,(n?N*);（（2）设bn?an?1?an(n?N*),求证：bn?1?2bn?1； 3）求
12n(n?1),(n?N*)（1）求
数列{an}(n?N*)的通项公式。
解：（1）由已知S2?2S1?1,即a1?a2?2a1?1,a2?1
S3?2S2?3，即a1?a2?a3?2(a1?a2)?3,有a3?4
由
Sn?1?2Sn?12n(n?1)，有Sn?2Sn?1?12n(n?1)?1212(n?1)n(n?2)
?Sn?1?Sn?2(Sn?Sn?1)?n(n?1)，
即an?1?2an?n,(n?2) 同时，a2?2a1?1?1,?an?1?2an?n,(n?N*) （2）由（1）：an?1?2an?n，有an?2?2an?1?n?1
?an?2?an?1?2(an?1?an)?1 即bn?1?2bn?1
（3）由（2）：bn?1?1?2(bn?1)而b1?1?a2?a1?1?2，
?{bn?1}是以2为首项，2为公比的等比数列， ?bn?1?2?2n?1?2，bn?2?1即an?1?an?2?1，而an?1?2an?n，
nnn有：2an?n?an?2n?1,?an?2n?n?1(n?N*)
S1,n?1? 一般地，含有Sn的递推关系式，一般利用an??化“和”为“项”。
?Sn?Sn?1,n?2例4：在数列{an}中，a1?令
bn?1an13，并且对任意n?N?,n?2都有an?an?1?an?1?an成立，
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{(n?N)．
1a1?ann}的前n项和Tn．
1an1an?1解：（1）当n=1时，b1??3,当n?2时，由an?an?1?an?1?an得
??1,所
以bn?bn?1?1
所以数列{bn}是首项为3，公差为1的等差数列，所以数列{bn}的通项公式为bn?n?2 （ann?1n2
?1n(n?2)1n?2)
2）
12(1?13?12?14?13?15???1n?1?1n?1?111(?)2nn?2?Tn??13113n?5n34(n?1)?2 ?[?(?)]???222n?1n?24(n?3n?2)44(n?1)(n?2) 裂项相消法：主要用于通项为分式的形式，通项拆成两项之差求和，正负项相消剩下首尾若干项，注意一般情况下剩下正负项个数相同. 考点三 数列与不等式、函数等知识的联系
例5： 已知数列?an?是等差数列，cn?an?an?1?n?N22??（1）判断数列?c（
2
）
n?是否是等差
如
果
数列，并说明理由；
a1?a3???a25?130,a2?a4???a26?143?13k?k为?cn?的通?，试写出数列常数项公式；（3）在（2）的条件下，若数列?cn?得前n项和为Sn，问是否存在这样的实数k，使Sn当且仅当n?12时取得最大值。若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由。
2222解：（1）设{an}的公差为d，则cn?1?cn?(an?1?an?2)?(an?an?1)
?2an?1?(an?1?d)?(an?1?d)??2d?数列{cn}是以?2d为公差的等差数列
22222 （2）?a1?a3???a25?130，a2?a4???a26?143?13k
?两式相减：13d?13?13k?d?1?k?13a1?13(13?1)222?2d?130?a3??2?12k
?an?a1?(n?1)d?(1?kn?(13k?3))?cn?an?an?1?(an?an?1)(an?an?1) ?26k?32?6?(2n?1)(1?k)??2(1?k)?n?25k?30k?5
222 （3）因为当且仅当n?12时Sn最大?有c12?0,c13?0
22????24(1?k)?25k?30k?5?0?k?18k?19?0即? ??222????36(1?k)?25k?30k?5?0?k?22k?21?0
?k?1或k??19???k??19或k?21
k?21或k?1? 解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．
2例6： 已知数列?an?的首项a1?2a?1（a是常数，且a??1），an?2an?1?n?4n?22（n?2），数列?bn?的首项b1?a，bn?an?n（n?2）。 （1）证明：?bn?从第2项
起是以2为公比的等比数列；（2）设Sn为数列?bn?的前n项和，且?Sn?是等比数列，求实数a的值；（3）当a?0时，求数列?an?的最小项.（提示：当n?3时总有2n?2n?1）
2222解：（1）∵bn?an?n∴bn?1?an?1?(n?1)?2an?(n?1)?4(n?1)?2?(n?1)
?2an?2n2?2bn(n≥2)由a1?2a?1得a2?4a，b2?a2?4?4a?4，∵a??1，∴
b2?0，
即{bn}从第2项起是以2为公比的等比数列。
(4a?4)(2n?1（2）Sn?a??1)2?1n??3a?4?(2a?2)2
n当n≥2时，
SnSn?1?(2a?2)2?3a?4(2a?2)2n?1?3a?4?2?3a?4(a?1)2n?1?3a?4
4∵{Sn}是等比数列, ∴Sn(n≥2)是常数，∴3a?4?0，即a?? 。
Sn?13n?2n?(a?1)2， （3）由（1）知当n?2时，bn?(4a?4)2所以
?2a?an???(a?nnn?n1n?1?n2，)(2n?2,an?1?an?(a?1)?2?(2n?1)?n?3有2?2n?1
?n?3时an?1?an显然最小项是前三项中的一项。当a?(0,a?141114)时，最小项为8a?1；当
12时，最小项为4a或8a?1；当a?(,)时，最小项为4a；当a?4212,??)时，最小项为2a?1。
时，最小项为
4a或2a?1；当a?( 、对数列中的含n的式子，注意可以把式子中的n换为n?1或n?1得到相关的式子，再进行化简变形处理；也可以把n取自然数中的具体的数1，2，3?等，得到一些等式归纳证明.
例7：已知数列?an?中，a1?2,an?an?1?2n?0?n?2,n?N?.（1）写出a2、a3的值（只写结果）并求出数列?an?的通项公式；（2）设bn?正整数n，当m???1,1?时，不等式t2?2mt?161an?1?1an?2?1an?3?????1a2n，若对任意的
?bn恒成立，求实数t的取值范围。
解：（1）∵ a1?2,an?an?1?2n?0?n?2,n?N? ∴ a2?6,a3?12 ?2分 当n?2时，an?an?1?2n,an?1?an?2?2?n?1?,???,a3?a2?2?3,a2?a1?2?2， ∴
an?12?a???1?n??，n3?2∴?an?2??n??n?1??????3?2?1???2n?n?1?2?n?n?1?
当n?1时，a1?1??1?1??2也满足上式， ∴数列?an?的通项公式为an?n?n?1? （2）bn?1an?1?1an?2?????1a2n?1?1?????12n?2n?1??n?1??n?2?1?????1?n?2??n?3?1
?1?n?1??n?2?1?1?1?1?n?2??n?3?n2?2n??2n?1?1x??n?1??2n?1??2n?3n?1?(2n?11n)?3令f?x??2x??x?1?，则f??x??2?1x2，
当x?1时,f??x??0恒成立∴f?x?在x??1,???上是增函数，