an＋1*
综上，＝a2对所有n∈N成立，从而{an}是首项为1，公比为a2的等比数列．
an
－1*
证法二：用数学归纳法证明an＝an2，n∈N.
当n＝1时，由S2＝a2S1＋a1，得a1＋a2＝a2a1＋a1，即a2＝a2a1，再由a2≠0，得a1＝1， 所以结论成立．
－1
假设n＝k时，结论成立，即ak＝ak2，那么
当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(a2Sk＋a1)－(a2Sk－1＋a1)＝a2(Sk－Sk－1)＝a2ak＝ak2， 这就是说，当n＝k＋1时，结论也成立．
*n－1
综上可得，对任意n∈N，an＝a2.因此{an}是首项为1，公比为a2的等比数列．
n
(2)当n＝1或2时，显然Sn＝(a1＋an)，等号成立．
2
－1
设n≥3，a2＞－1且a2≠0，由(1)知a1＝1，an＝an2，所以要证的不等式化为
nn－1n－1
1＋a2＋a22＋?＋a2≤(1＋a2)(n≥3)，
2
n＋1n
即证：1＋a2＋a2(1＋an2＋?＋a2≤2)(n≥2)．
2
当a2＝1时，上面不等式的等号成立．
n－r
当－1＜a2＜1时，ar2－1与a2－1(r＝1,2，?，n－1)同为负；
－r
当a2＞1时，ar2－1与an2－1(r＝1,2，?，n－1)同为正．
n－r
因此当a2＞－1且a2≠1时，总有(ar2－1)(a2－1)＞0，即
n－rn
ar2＋a2＜1＋a2(r＝1,2，?，n－1)． 上面不等式对r从1到n－1求和得
2n－1n
2(a2＋a2＋?＋a2)＜(n－1)(1＋a2)，
n＋12nn
由此可得1＋a2＋a2＋?＋a2＜(1＋a2)．
2
n
综上，当a2＞－1且a2≠0时，有Sn≤(a1＋an)，当且仅当n＝1,2或a2＝1时等号成立．
2nn
证法二：当n＝1或2时，显然Sn≤(a1＋an)，等号成立．当a2＝1时，Sn＝n＝(a1＋
22
an)，等号也成立．
1－an2－1
当a2≠1时，由(1)知Sn＝，an＝an2，下证：
1－a2
1－ann2－1
＜(1＋an2)(n≥3，a2＞－1且a2≠1)． 1－a22
当－1＜a2＜1时，上面不等式化为
nn－1
(n－2)a2＋na2－na2＜n－2(n≥3)．
n－1
令f(a2)＝(n－2)an2＋na2－na2.
n－2
当－1＜a2＜0时，1－a2＞0，故
n－2n
f(a2)＝(n－2)an2＋na2(1－a2)＜(n－2)|a2|＜n－2， 即所要证的不等式成立．
－1n－2
当0＜a2＜1时，对a2求导得f′(a2)＝n[(n－2)an2－(n－1)a2＋1]＝ng(a2)．
n－1n－2n－3
其中g(a2)＝(n－2)a2－(n－1)a2＋1，则g′(a2)＝(n－2)(n－1)(a2－1)a2＜0，即g(a2)是(0,1)上的减函数，故g(a2)>g(1)＝0，从而f′(a2)＝ng(a2)>0，进而f(a2)是(0,1)上的增函数，因此f(a2)＜f(1)＝n－2，所要证的不等式成立．
1
当a2＞1时，令b＝，则0＜b＜1，由已知的结论知
a2
1?n
1－??a2?n??1?n－1?
＜?1＋???， 12a21－a2
－1
两边同时乘以an2得所要证的不等式．
n
综上，当a2＞－1且a2≠0时，有Sn≤(a1＋an)，当且仅当n＝1,2或a2＝1时等号成立．
2
22．D3、M3 [2012·全国卷] 函数f(x)＝x2－2x－3.定义数列{xn}如下：x1＝2，xn＋1是过两点P(4,5)、Qn(xn，f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标．
(1)证明：2≤xn 22．解：(1)用数学归纳法证明：2≤xn f?2?－5y－5＝(x－4)， 2－4 11 令y＝0，解得x2＝，所以2≤x1 4 ②假设当n＝k时，结论成立，即2≤xk f?xk＋1?－5 直线PQk＋1的方程为y－5＝(x－4)， xk＋1－4 3＋4xk＋1 令y＝0，解得xk＋2＝. 2＋xk＋13＋4xk＋155 由归纳假设知xk＋2＝＝4－<4－＝3， 2＋xk＋12＋xk＋12＋3 ?3－xk＋1??1＋xk＋1? xk＋2－xk＋1＝>0， 2＋xk＋1 即xk＋1 所以2≤xk＋1 3＋4xn (2)由(1)及题意得xn＋1＝.设bn＝xn－3，则 2＋xn 15 ＝＋1， bn＋1bn1111?＋＝5??bn＋4?， bn＋14?11?3 数列?＋?是首项为－，公比为5的等比数列， ?bn4?4113n－1 因此＋＝－·5， bn44 4 即bn＝－n－1， 3·5＋1 4 所以数列{xn}的通项公式为xn＝3－n－1. 3·5＋1 18．D2、D3、D5[2012·湖北卷] 已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求等差数列{an}的通项公式； (2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和． 18．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d. ?3a1＋3d＝－3，? 由题意得? ?a?a＋d??a＋2d?＝8，?111 ???a1＝2，?a1＝－4，解得?或? ?d＝－3，?d＝3.?? 所以由等差数列通项公式可得 an＝2－3(n－1)＝－3n＋5，或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7. 故an＝－3n＋5，或an＝3n－7. (2)当an＝－3n＋5时，a2，a3，a1分别为－1，－4,2，不成等比数列； 当an＝3n－7时，a2，a3，a1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件． ??－3n＋7，n＝1，2， 故|an|＝|3n－7|＝? ?3n－7，n≥3.? 记数列{|an|}的前n项和为Sn. 当n＝1时，S1＝|a1|＝4；当n＝2时，S2＝|a1|＋|a2|＝5； 当n≥3时， Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋?＋|an|＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋?＋(3n－7)＝5＋?n－2?[2＋?3n－7?]3211 ＝n－n＋10. 222当n＝2时，满足此式． ?4，n＝1， ? 综上，Sn＝?3211 n－n＋10，n＞1.??22 19．D2、D3、M2[2012·湖南卷] 已知数列{an}的各项均为正数，记A(n)＝a1＋a2＋?＋ an，B(n)＝a2＋a3＋?＋an＋1，C(n)＝a3＋a4＋?＋an＋2，n＝1,2，?. (1)若a1＝1，a2＝5，且对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成等差数列，求数列{an}的通项公式； (2)证明：数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列． 19．解：(1)对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)是等差数列，所以B(n)－A(n)＝C(n)－B(n)，即an＋1－a1＝an＋2－a2，亦即an＋2－an＋1＝a2－a1＝4. 故数列{an}是首项为1，公差为4的等差数列． 于是an＝1＋(n－1)×4＝4n－3. (2)①必要性：若数列{an}是公比为q的等比数列，则对任意n∈N*，有an＋1＝anq.由an ＞0知，A(n)，B(n)，C(n)均大于0，于是 B?n?a2＋a3＋?＋an＋1q?a1＋a2＋?＋an? ＝＝＝q， A?n?a1＋a2＋?＋ana1＋a2＋?＋an C?n?a3＋a4＋?＋an＋2q?a2＋a3＋?＋an＋1? ＝＝＝q， B?n?a2＋a3＋?＋an＋1a2＋a3＋?＋an＋1 B?n?C?n?即＝＝q.所以三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列． A?n?B?n? ②充分性：若对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列，则 B(n)＝qA(n)，C(n)＝qB(n)． 于是C(n)－B(n)＝q[B(n)－A(n)]，得an＋2－a2＝q(an＋1－a1)，即an＋2－qan＋1＝a2－qa1. 由n＝1有B(1)＝qA(1)，即a2＝qa1， 从而an＋2－qan＋1＝0. an＋2a2因为an＞0，所以＝＝q. an＋1a1 故数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列． 综上所述，数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列． 5．D3[2012·课标全国卷] 已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝( ) A．7 B．5 C．－5 D．－7 ?a1q3＋a1q6＝2，? 5．D [解析] 设数列{an}的公比为q.由题意，?4 得536 ?aq×aq＝aq×aq＝－8，?1111 33?????1?a1q＝－2，?a1q＝4，?a1＝1， ?或?6解得?3或?316 ?a1q＝4??q＝－.??a1q＝－2，?q＝－2?? a＝－8， 2 ??a1＝1， 当?3 时，a1＋a10＝?q＝－2? a1＝－8，??1 a1(1＋q9)＝1＋(－2)3＝－7；当?时，a1＋a10＝a1(1＋q9)＝(－8)×?1＋?－?3?＝1??2?? ??q＝－2－7.综上，a1＋a10＝－7.故选D. 图1－1 D4 数列求和 1nπ 18．D4[2012·上海卷] 设an＝sin，Sn＝a1＋a2＋?＋an，在S1，S2，?，S100中，正 n25 数的个数是( ) A．25 B．50 C．75 D．100 18．D [解析] 考查数列求和和转化思想，关键是发现数列为振幅越来越小的摆动数列． nπ 令bn＝sin，周期为50，前n项和记作：Tn＝b1＋b2＋?＋bn，根据三角函数图象的对 25 1nπ 称性，可知T1，T2，?，T49均大于0，只有两个T50＝0，T100＝0，数列an＝sin为振幅越 n25 来越小的摆动数列，|an|≤|bn|，只有当n＝1,50,100时相等，故S1，S2，?，S100中正数个数为100. nπ 14．D4[2012·福建卷] 数列{an}的通项公式an＝ncos＋1，前n项和为Sn，则S2 012＝ 2 ________. π 14．3 018 [解析] a1＝1cos＋1＝1， 2 a2＝2cosπ＋1＝－1， 3π a3＝3cos＋1＝1， 2 a4＝4cos2π＋1＝5， 5π a5＝5cos＋1＝1， 2 a6＝6cos3π＋1＝－5， 7π a7＝7cos＋1＝1， 28π a8＝8cos＋1＝9； 2 该数列每四项的和为6,2 012 ÷4＝503，所以S2 012＝6×503＝3 018. n 16．D4、D5[2012·课标全国卷] 数列{an}满足an＋1＋(－1)an＝2n－1，则{an}的前60项和为________． 16．[答案] 1 830 [解析] 令bn＝a4n－3＋a4n－2＋a4n－1＋a4n， 则bn＋1＝a4n＋1＋a4n＋2＋a4n＋3＋a4n＋4. 因为an＋1＋(－1)nan＝2n－1， 所以an＋1＝－(－1)nan＋2n－1. 所以a4n－3＝－a4n－4＋2(4n－4)－1， a4n－2＝a4n－3＋2(4n－3)－1， a4n－1＝－a4n－2＋2(4n－2)－1， a4n＝a4n－1＋2(4n－1)－1， a4n＋1＝－a4n＋2×4n－1， a4n＋2＝a4n＋1＋2(4n＋1)－1， a4n＋3＝－a4n＋2＋2(4n＋2)－1， a4n＋4＝a4n＋3＋2(4n＋3)－1， 所以a4n＋4＝a4n＋3＋2(4n＋3)－1＝－a4n＋2＋2(4n＋2)－1＋2(4n＋3)－1 ＝－a4n＋1－2(4n＋1)＋1＋2(4n＋2)－1＋2(4n＋3)－1 ＝a4n－2×4n＋1－2(4n＋1)＋1＋2(4n＋2)－1＋2(4n＋3)－1 ＝a4n＋8， 即a4n＋4＝a4n＋8. 同理，a4n＋3＝a4n－1，a4n＋2＝a4n－2＋8，a4n＋1＝a4n－3. 所以a4n＋1＋a4n＋2＋a4n＋3＋a4n＋4＝a4n＋a4n－1＋a4n－2＋a4n－3＋16. 即bn＋1＝bn＋16.故数列{bn}是等差数列． 又a2－a1＝2×1－1，① a3＋a2＝2×2－1，② a4－a3＝2×3－1，③ ②－①得a3＋a1＝2；②＋③得a2＋a4＝8， 所以a1＋a2＋a3＋a4＝10， 即b1＝10. 15×14 所以数列{an}的前60项和即为数列{bn}的前15项和，即S15＝10×15＋×16＝1 2 830. 20．B3、D4、M4[2012·北京卷] 设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记S(m，n)为所有这样的数表构成的集合． 对于A∈S(m，n)，记ri(A)为A的第i行各数之和(1≤i≤m)，cj(A)为A的第j列各数之和(1≤j≤n)； 记k(A)为|r1(A)|，|r2(A)|，?，|rm(A)|，|c1(A)|，|c2(A)|，?，|cn(A)|中的最小值． (1)对如下数表A，求k(A)的值； 1 1 －0.8 0.1 －0.3 －1