a4n－1＝－a4n－2＋2(4n－2)－1， a4n＝a4n－1＋2(4n－1)－1， a4n＋1＝－a4n＋2×4n－1， a4n＋2＝a4n＋1＋2(4n＋1)－1， a4n＋3＝－a4n＋2＋2(4n＋2)－1， a4n＋4＝a4n＋3＋2(4n＋3)－1，
所以a4n＋4＝a4n＋3＋2(4n＋3)－1＝－a4n＋2＋2(4n＋2)－1＋2(4n＋3)－1 ＝－a4n＋1－2(4n＋1)＋1＋2(4n＋2)－1＋2(4n＋3)－1
＝a4n－2×4n＋1－2(4n＋1)＋1＋2(4n＋2)－1＋2(4n＋3)－1 ＝a4n＋8，
即a4n＋4＝a4n＋8.
同理，a4n＋3＝a4n－1，a4n＋2＝a4n－2＋8，a4n＋1＝a4n－3.
所以a4n＋1＋a4n＋2＋a4n＋3＋a4n＋4＝a4n＋a4n－1＋a4n－2＋a4n－3＋16. 即bn＋1＝bn＋16.故数列{bn}是等差数列． 又a2－a1＝2×1－1，① a3＋a2＝2×2－1，② a4－a3＝2×3－1，③
②－①得a3＋a1＝2；②＋③得a2＋a4＝8， 所以a1＋a2＋a3＋a4＝10， 即b1＝10.
15×14
所以数列{an}的前60项和即为数列{bn}的前15项和，即S15＝10×15＋×16＝1
2
830.
19．D2、D5[2012·广东卷] 设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈*
N，且a1，a2＋5，a3成等差数列．
(1)求a1的值；
(2)求数列{an}的通项公式；
1113
(3)证明：对一切正整数n，有＋＋?＋<.
a1a2an2
19．解：(1)∵a1，a2＋5，a3成等差数列， ∴2(a2＋5)＝a1＋a3.
又∵2a1＝2S1＝a2－22＋1,2(a1＋a2)＝2S2＝a3－23＋1， ∴a2＝2a1＋3，a3＝6a1＋13. 因此4a1＋16＝7a1＋13，从而 a1＝1.
(2)由题设条件知，n≥2时， 2Sn－1＝an－2n＋1，
n＋1
2Sn＝an＋1－2＋1.
∴2an＝an＋1－an－2n，于是
n
an＋1＝3an＋2(n≥2)．
而由(1)知，a2＝2a1＋3＝5＝3a1＋2，
n
因此对一切正整数n，有an＋1＝3an＋2， 所以an＋1＋2n＋1＝3(an＋2n)．
1
又∵a1＋2＝3，
n
∴{an＋2}是以3为首项，3为公比的等比数列．
nnnn
故an＋2＝3，即an＝3－2. (3)∵an＝3n－2n＝3·3n－1－2n＝3n－1＋2(3n－1－2n－1)≥3n－1， 11∴≤n－1. an3
an
与x轴正半轴相交于点A.设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距． 2
(1)用a和n表示f(n)；
3
f?n?－1n
(2)求对所有n都有≥3成立的a的最小值；
f?n?＋1n＋1
(3)当0＜a＜1时，比较?
k＝1n
1n11111133∴＋＋?＋≤1＋＋2＋?＋n－1＝<. a1a2an33312
1－
3
22．B14、E9、J3、D5[2012·四川卷] 已知a为正实数，n为自然数，抛物线y＝－x2＋
1－
127f?1?－f?n?
与·的大小，并说明理由．
f?k?－f?2k?4f?0?－f?1?
na?，对y＝－x2＋1an求导得y′＝－2x，
22．解：(1)由已知得，交点A的坐标为?，0
?2?2
an?n?nnn
则抛物线在点A处的切线方程为y＝－2ax－，即y＝－2ax＋a，则f(n)＝a.
?2?
f?n?－1n3n3
(2)由(1)知f(n)＝a，则≥3成立的充要条件是a≥2n＋1.
f?n?＋1n＋1
n3
即知，a≥2n＋1对所有n成立，特别地，取n＝2得到a≥17. 当a＝17，n≥3时， an>4n＝(1＋3)n＝1＋C13＋C232＋C333＋? n·n·n·≥1＋C13＋C232＋C333 n·n·n·
132
＝1＋2n＋n[5(n－2)＋(2n－5)]
2
3
>2n＋1.
当n＝0,1,2时，显然(17)n≥2n3＋1.
f?n?－1n3
故a＝17时，≥对所有自然数n都成立．
f?n?＋1n3＋1
所以满足条件的a的最小值为17. n
nf?1?－f?n?a－an11
(3)由(1)知f(k)＝a，? ＝? k＝. 2k，
f?0?－f?1?1－ak＝1f?k?－f?2k?k＝1a－a
k
n
n
下面证明：?
k＝1
127f?1?－f?n?
>·. f?k?－f?2k?4f?0?－f?1?
127
首先证明：当0 x－x4 27 设函数g(x)＝x(x2－x)＋1,0 4812 则g′(x)＝x(x－)． 4322 当0 33 2 故g(x)在区间(0,1)上的最小值g(x)＝g??＝0. ?3?1271k* 所以，当0 n11＝? k? 2k k＝1f?k?－f?2k?k＝1a－an ≥ 27nk ?a 4k＝1 n＋1 27a－a＝· 41－a n 27a－a>· 41－a 27f?1?－f?n?＝·. 4f?0?－f?1? 18．D2、D3、D5[2012·湖北卷] 已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求等差数列{an}的通项公式； (2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和． 18．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d. ?3a1＋3d＝－3，? 由题意得? ?a?a＋d??a＋2d?＝8，?111 解得? ?a1＝2，? ??d＝－3， 或? ?a1＝－4，???d＝3. 所以由等差数列通项公式可得 an＝2－3(n－1)＝－3n＋5，或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7. 故an＝－3n＋5，或an＝3n－7. (2)当an＝－3n＋5时，a2，a3，a1分别为－1，－4,2，不成等比数列； 当an＝3n－7时，a2，a3，a1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件． ??－3n＋7，n＝1，2， 故|an|＝|3n－7|＝? ?3n－7，n≥3.? 记数列{|an|}的前n项和为Sn. 当n＝1时，S1＝|a1|＝4；当n＝2时，S2＝|a1|＋|a2|＝5； 当n≥3时， Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋?＋|an|＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋?＋(3n－7)＝5＋?n－2?[2＋?3n－7?]3211 ＝n－n＋10. 222当n＝2时，满足此式． ?4，n＝1， 综上，Sn＝?3211 ??2n－2n＋10，n＞1. ? * 21．A2、D5 [2012·安徽卷] 数列{xn}满足x1＝0，xn＋1＝－x2n＋xn＋c(n∈N)． (1)证明：{xn}是递减数列的充分必要条件是c<0； (2)求c的取值范围，使{xn}是递增数列． 2 21．解：(1)证明：先证充分性，若c<0，由于xn＋1＝－xn＋xn＋c≤xn＋c 再证必要性，若{xn}是递减数列， 则由x2 (2)(i)假设{xn}是递增数列， 由x1＝0，得x2＝c，x3＝－c2＋2c， 由x1 由①式和②式可得1－c－xn>0即xn<1－c. 由②式和xn≥0还可得，对任意n≥1都有 c－xn＋1≤(1－c)(c－xn)．③ 反复运用③式， 得c－xn≤(1－c)n－1(c－x1)<(1－c)n－1， n－1 xn<1－c和c－xn<(1－c)两式相加， n－1 知2c－1<(1－c)对任意n≥1成立． 11 根据指数函数y＝(1－c)x的性质，得2c－1≤0，c≤，故0 44 1 (ii)若0 4 即证xn 1 下面用数学归纳法证明当0 41 (1)当n＝1时，x1＝0 2* (2)假设当n＝k(k∈N)时结论成立，即：xk 1?因为函数f(x)＝－x2＋x＋c在区间?－∞，内单调递增，所以xk＋1＝f(xk) ?2?这就是说当n＝k＋1时，结论也成立．故xn 因此，xn＋1＝xn－x2n＋c>xn，即{xn}是递增数列． 1?由(i)(ii)知，使得数列{xn}单调递增的c的范围是?0， ?4?. 2012模拟题 1．[2012·金华十校期末] 项数为n的数列a1，a2，a3，?，an的前k项和为Sk(k＝1,2,3，?， S1＋S2＋?＋Sn n)，定义为该项数列的“凯森和”，如果项数为99项的数列a1，a2，a3，?， n a99的“ 凯森和”为1 000，那么项数为100的数列100，a1，a2，a3，?，a99的“凯森和”为( ) A．991 B．1 001 C．1 090 D．1 100 1．C [解析] 项数为99项的数列a1，a2，a3，?，a99的“凯森和”为1 000，所以S1＋S2＋?＋S99 ＝1 000，又100，a1，a2，a3，?，a99的“凯森和”为 99 100＋100＋S1＋100＋S2＋?＋100＋S99S1＋S2＋?＋S99 ＝100＋＝100＋990＝1 090，故选C. 100100 2．[2011·黄冈中学期末] 设数列{an}为等差数列，其前n项的和为Sn，已知a1＋a4＋a7 ＝99，S9＝279，若对任意n∈N＋，都有Sn≤Sk成立，则k的值为( ) A．22 B．21 C．20 D．19 2．20 [解析] 因为数列{an}为等差数列，且a1＋a4＋a7＝99，S9＝279得，a4＝33，a5 ＝31，所以d＝－2，a1＝39，an＝41－2n.对任意n∈N*都有Sn≤Sk成立，则Sk是Sn的最大 41 值，由an＝41－2n≥0?n≤，则k的值为20，故选C. 2 3．[2012·炎陵一中月考] 对正整数n，设曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点 ?an? ?的前n项和Sn＝________. 的纵坐标为an，则数列? ?n＋1? n＋1nn－1nn－1n 3．2－2 [解析] 因为y＝x(1－x)，所以y′＝nx－(n＋1)x，k＝n2－(n＋1)2＝－(n＋2)2n－1，由x＝2，y＝－2n，所以切线方程为y＋2n＝－(n＋2)2n－1(x－2)，令x＝0， n 2?1－2?n＋1annn2n 则y＝an＝(n＋1)2.所以记bn＝＝2，则Sn＝2＋2＋?＋2＝＝2－2. n＋11－2