故当x?1时，f?x?min?f?1??3即当n?1时，(bn)max?m???1,1?时，不等式t?2mt?216 要使对任意的正整数n，当
16?(bn)max?16162?bn恒成立，则须使t?2mt?，即
?t2?2t?0,解得，t?2或t??2 ∴ 实数t的取值t?2mt?0对,?m?1成立，∴ ???1?,恒t?2t?0?22范围为???,?2???2,???
1n?212n?31n?112n?11n?21??1???? 2n?1?2n?3n?1?16另解： bn?1?bn?3n?32n?5n?22?????1??3n?42n?5n?32?0∴ 数列?an?是单调递减数列，∴(bn)max?b1?
数列是一种特殊的函数，要注意其特殊性： (1)若用导数研究数列的单调性、最值等．要构造辅助函数，因为导数是对连续函数而定义的．(2)辅助函数的单调性与数列的单调性的联系与区别．
例8：已知数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n，点Pn(n,Sn)都在函数（1）求数列{an}的通项f(x)?x?2x的图像上，且过点Pn(n,Sn)的切线的斜率为kn．公式．（2）若bn?2kn2an，求数列{bn}的前n项和Tn．（3）设
??Q?{xx?kn,n?N},R?{xx?2an,n?N}，等差数列{cn}的任一项cn?Q?R，
其中c1是Q?R中的最小数，110?c10?115，求{cn}的通项公式.
2*2解：（1）?点Pn(n,Sn)都在函数f(x)?x?2x的图像上，?Sn?n?2n(n?N),当
n?2时，an?Sn?Sn?1?2n?1.当ｎ＝1时，a1?S1?3满足上式，所以数列{an}的通项公式为an?2n?1.
（2）由f(x)?x?2x求导可得f(x)?2x?2?过点Pn(n,Sn)的切线的斜率为kn，
?kn?2n?2. ?bn?2kn2‘an＝4?(2n?1)?412n.
3n?Tn?4?3?4?4?5?4?4?7?4????+4?（2n?1)?4①
234n?1（2n?1)?4② 由①×4，得4Tn?4?3?4?4?5?4?4?7?4????+4?①-②得： ?3Tn?4?3?4?2??42?43????+4n?-（2n?1)?4n?1?
??2n?1?4（1?4）6n?1n?216n?1? ?4?3?4?2?-（2n?1)?4??Tn??4?991?4?? （3）?Q?{xx?2n?2,n?N?},R?{xx?4n?2,n?N?},?Q?R?R.
又?cn?Q?R，其中c1是Q?R中的最小数，?c1?6. ??cn?是公差是4的倍数，?c10?4m?6(m?N).
*又?110?c10?110?4m?6?115,解得ｍ＝27. ?115，??*?m?N所以c10?114，设等差数列的公差为d，则d＝c10?c110?1＝114?69 ＝12，?cn?6?(n?1)?12?12n?6，所以?cn?的通项公式为cn?12n?6
一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，主要用错位相减法求数
列的和.
例9：甲、乙两容器中分别盛有浓度为10%，20%的某种溶液500ml， 同时从甲、乙两．．个容器中各取出100ml溶液，将其倒入对方的容器搅匀，这称为一次调和. 记a1?10%，．
b1?20%，经n?1(n?2)次调 和后甲、乙两个容器的溶液浓度为an，bn （I）试用an?1，
bn?1表示an，bn； （II）求证：数列｛an－bn｝是等比数列，数列｛an+bn｝是常数
列；（III）求出数列｛an｝，｛bn｝的通项公式. 解
bn?：（
?451
bn?1?3515an?1
）
an?400an?1?100bn?1500?45an?1?15bn?1
400bn?1?100an?1500（2）两式相减 an?bn?(an?1?bn?1) a1?b1?0 所以等比
两式相加an?bn?an?1?bn?1＝??.＝a1?b1?30% 所以常数列； （3）an?bn??10%()53n?13n?13n?1an??5%()?15%,bn?5%()?15%
55
数列在日常经济生活中广为应用，如增长率问题、银行存款利率问题、贷款问题等，都是与等比数列有关．另外，有些实际问题，可转化为数列问题，注意是求项还是求和，是解
方程还是不等式问题．
最新考场典型题热身 D1 数列的概念与简单表示法
21．D1、D3、E1、M3[2012·重庆卷] 设数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋1＝a2Sn＋a1，其中a2≠0.
(1)求证：{an}是首项为1的等比数列；
n
(2)若a2＞－1，求证：Sn≤(a1＋an)，并给出等号成立的充要条件．
2
21．解：(1)证法一：由S2＝a2S1＋a1得a1＋a2＝a2a1＋a1，即a2＝a2a1.
a
因a2≠0，故a1＝1，得2＝a2.
a1
又由题设条件知
Sn＋2＝a2Sn＋1＋a1，Sn＋1＝a2Sn＋a1， 两式相减得Sn＋2－Sn＋1＝a2(Sn＋1－Sn)， 即an＋2＝a2an＋1，
an＋2
由a2≠0，知an＋1≠0，因此＝a.
an＋12
an＋1*
综上，＝a2对所有n∈N成立，从而{an}是首项为1，公比为a2的等比数列．
an
n－1*
证法二：用数学归纳法证明an＝a2，n∈N.
当n＝1时，由S2＝a2S1＋a1，得a1＋a2＝a2a1＋a1，即a2＝a2a1，再由a2≠0，得a1＝1， 所以结论成立．
－1
假设n＝k时，结论成立，即ak＝ak2，那么
当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(a2Sk＋a1)－(a2Sk－1＋a1)＝a2(Sk－Sk－1)＝a2ak＝ak2， 这就是说，当n＝k＋1时，结论也成立．
－1
综上可得，对任意n∈N*，an＝an2.因此{an}是首项为1，公比为a2的等比数列．
n
(2)当n＝1或2时，显然Sn＝(a1＋an)，等号成立．
2
n－1
设n≥3，a2＞－1且a2≠0，由(1)知a1＝1，an＝a2，所以要证的不等式化为
nn－1n－1
1＋a2＋a22＋?＋a2≤(1＋a2)(n≥3)，
2
n＋1n
即证：1＋a2＋a2(1＋an2＋?＋a2≤2)(n≥2)．
2
当a2＝1时，上面不等式的等号成立．
n－r
当－1＜a2＜1时，ar2－1与a2－1(r＝1,2，?，n－1)同为负；
－r
当a2＞1时，ar2－1与an2－1(r＝1,2，?，n－1)同为正．
n－r
因此当a2＞－1且a2≠1时，总有(ar2－1)(a2－1)＞0，即
n－rn
ar2＋a2＜1＋a2(r＝1,2，?，n－1)． 上面不等式对r从1到n－1求和得
n－1n
2(a2＋a22＋?＋a2)＜(n－1)(1＋a2)，
n＋12nn
由此可得1＋a2＋a2＋?＋a2＜(1＋a2)．
2
n
综上，当a2＞－1且a2≠0时，有Sn≤(a1＋an)，当且仅当n＝1,2或a2＝1时等号成立．
2nn
证法二：当n＝1或2时，显然Sn≤(a1＋an)，等号成立．当a2＝1时，Sn＝n＝(a1＋
22
an)，等号也成立．
n
1－a2－1
当a2≠1时，由(1)知Sn＝，an＝an2，下证：
1－a2
1－ann2－1
＜(1＋an2)(n≥3，a2＞－1且a2≠1)． 1－a22
当－1＜a2＜1时，上面不等式化为
n－1
(n－2)an2＋na2－na2＜n－2(n≥3)．
n－1
令f(a2)＝(n－2)an2＋na2－na2.
－2
当－1＜a2＜0时，1－an2＞0，故
n－2n
f(a2)＝(n－2)an2＋na2(1－a2)＜(n－2)|a2|＜n－2， 即所要证的不等式成立．
n－1n－2
当0＜a2＜1时，对a2求导得f′(a2)＝n[(n－2)a2－(n－1)a2＋1]＝ng(a2)．
n－1n－2n－3
其中g(a2)＝(n－2)a2－(n－1)a2＋1，则g′(a2)＝(n－2)(n－1)(a2－1)a2＜0，即g(a2)是(0,1)上的减函数，故g(a2)>g(1)＝0，从而f′(a2)＝ng(a2)>0，进而f(a2)是(0,1)上的增函数，因此f(a2)＜f(1)＝n－2，所要证的不等式成立．
1
当a2＞1时，令b＝，则0＜b＜1，由已知的结论知
a2
1?n
1－??a2?n??1?n－1?
＜1＋， 12??a2??1－a2
n－1
两边同时乘以a2得所要证的不等式．
n
综上，当a2＞－1且a2≠0时，有Sn≤(a1＋an)，当且仅当n＝1,2或a2＝1时等号成立．
2
23．M2、D1[2012·上海卷] 对于数集X＝{－1，x1，x2，?，xn}，其中0＜x1＜x2＜?＜xn，n≥2，定义向量集Y＝{a|a＝(s，t)，s∈X，t∈X}，若对任意a1∈Y，存在a2∈Y，使得a1·a2＝0，则称X具有性质P，例如{－1,1,2}具有性质P.
(1)若x＞2，且{－1,1,2，x}具有性质P，求x的值；
(2)若X具有性质P，求证：1∈X，且当xn＞1时，x1＝1；
(3)若X具有性质P，且x1＝1、x2＝q(q为常数)，求有穷数列x1，x2，?，xn的通项公式．
23．解：(1)选取a1＝(x,2)，Y中与a1垂直的元素必有形式(－1，b)， 所以x＝2b，从而x＝4.
(2)证明：取a1＝(x1，x1)∈Y，设a2＝(s，t)∈Y，满足a1·a2＝0. 由(s＋t)x1＝0得s＋t＝0，所以s，t异号．
因为－1是X中唯一的负数，所以s，t之中一个为－1，另一个为1，故1∈X. 假设xk＝1，其中1＜k＜n，则0＜x1＜1＜xn.
选取a1＝(x1，xn)∈Y，并设a2＝(s，t)∈Y满足a1·a2＝0，即sx1＋txn＝0， 则s，t异号，从而s，t之中恰有一个为－1. 若s＝－1，则x1＝txn＞t＞x1，矛盾； 若t＝－1，则xn＝sx1＜s≤xn，矛盾． 所以x1＝1.
st
(3)设a1＝(s1，t1)，a2＝(s2，t2)，则a1·a2＝0等价于1＝－2，
t1s2
?s
记B＝?|s∈X，t∈X，|s|＞|t|}，则数集X具有性质P当且仅当数集B关于原点对称．
?t
注意到－1是X中的唯一负数，B∩(－∞，0)＝{－x2，－x3，?，－xn}共有n－1个数，所以B∩(0，＋∞)也只有n－1个数．
xxxx
由于n＜n＜?＜n＜n，已有n－1个数，对以下三角数阵
xn－1xn－2x2x1xnxxx＜n＜?＜n＜n， xn－1xn－2x2x1
xn－1xn－1xn－1
＜＜?＜， xn－2xn－3x1? x2. x1
xnxn－1x2xnxn－1x2x2?k－1k
注意到＞＞?＞，所以＝＝?＝，从而数列的通项为xk＝x1?＝q?x1?x1x1x1xn－1xn－2x1
－1
，k＝1,2，?，n.
7．D2、E1[2012·浙江卷] 设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是( ) ．．A．若d<0，则数列{Sn}有最大项
B．若数列{Sn}有最大项，则d<0
*
C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N，均有Sn>0 D．若对任意n∈N*，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列
7．C [解析] 本题考查等差数列的通项、前n项和，数列的函数性质以及不等式知识，考查灵活运用知识的能力，有一定的难度．
法一：特值验证排除．选项C显然是错的，举出反例：－1，0,1,2,3，?满足数列{S n}是递增数列，但是S n＞0不恒成立．
n?n－1?d2?d
法二：由于Sn＝na1＋d＝n＋?a1－?n，根据二次函数的图象与性质知当d<0
222?时，数列{Sn}有最大项，即选项A正确；同理选项B也是正确的；而若数列{Sn}是递增数列，
*
那么d>0，但对任意的n∈N，Sn>0不成立，即选项C错误；反之，选项D是正确的；故应选C.
[点评] 等差数列的求和公式与二次函数的图象的关系是解决本题的重要依据．
图1－2
D2 等差数列及等差数列前n项和
6．D2[2012·辽宁卷] 在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝( ) A．58 B．88 C．143 D．176
6．B [解析] 本小题主要考查等差数列的性质和求和公式．解题的突破口为等差数列性质的正确应用．
11×?a1＋a11?
由等差数列性质可知，a4＋a8＝a1＋a11＝16，S11＝＝88.
2
?1?
?5．D2[2012·全国卷] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列?
?anan＋1?
的前100项和为( )
10099A. B. 10110199101C. D. 100100