∴∠B′BE+∠KBC=90°， 由折叠知，∠BKC=90°， ∴∠KBC+∠GCB=90°， ∴∠B′BE=∠GCB，
又由折叠知，∠GCB=∠GCB′， ∴∠B′AE=∠GCB′，
（3）四边形B′PD′Q为正方形， 证明：如图3，连接AB′
由（2）可知∠B′AE=∠GCB′，由折叠可知，∠GCB′=∠PCN， ∴∠B′AE=∠PCN，
由对折知∠AEB=∠CNP=90°，AE=AB，CN=BC， 又∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC， ∴AE=CN，
在△AEB′和△CNP
∴△AEB′≌△CNP ∴EB′=NP，
同理可得，FD′=MQ，
由对称性可知，EB′=FD′， ∴EB′=NP=FD′=MQ，
由两次对折可得，OE=ON=OF=OM， ∴OB′=OP=0D′=OQ，
∴四边形B′PD′Q为矩形， 由对折知，MN⊥EF，于点O， ∴PQ⊥B′D′于点0，
∴四边形B′PD′Q为正方形， 点评： 本题主要考查了四边形的综合题，解决本题的关键是找准对折后的相等角，相等边． 24．（13分）（2014?山西）综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A、C两点的坐标分别为（4，0），（﹣2，3），抛物线W经过O、A、C三点，D是抛物线W的顶点． （1）求抛物线W的解析式及顶点D的坐标；
（2）将抛物线W和?OABC一起先向右平移4个单位后，再向下平移m（0＜m＜3）个单位，得到抛物线W′和
?O′A′B′C′，在向下平移的过程中，设?O′A′B′C′与?OABC的重叠部分的面积为S，试探究：当m为何值时S有最大值，并求出S的最大值； （3）在（2）的条件下，当S取最大值时，设此时抛物线W′的顶点为F，若点M是x轴上的动点，点N时抛物线W′上的动点，试判断是否存在这样的点M和点N，使得以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
21
考点： 二次函数综合题． 分析： （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出顶点D的坐标；
（2）由平移性质，可知重叠部分为一平行四边形．如答图2，作辅助线，利用相似比例式求出平行四边形的边长和高，从而求得其面积的表达式；然后利用二次函数的性质求出最值；
（3）本问涉及两个动点，解题关键是利用平行四边形的判定与性质，区分点N在x轴上方、下方两种情况，分类讨论，避免漏解．设M（t，0），利用全等三角形求出点N的坐标，代入抛物线W′的解析式求出t的值，从而求得点M的坐标．
2
解答： 解：（1）设抛物线W的解析式为y=ax+bx+c， ∵抛物线W经过O（0，0）、A（4，0）、C（﹣2，3）三点，
∴，解得：
∴抛物线W的解析式为y=x﹣x．
∵y=x﹣x=（x﹣2）﹣1，∴顶点D的坐标为（2，﹣1）．
（2）由?OABC得，CB∥OA，CB=OA=4． 又∵C点坐标为（﹣2，3）， ∴B点的坐标为（2，3）．
如答图2，过点B作BE⊥x轴于点E，由平移可知，点C′在BE上，且BC′=m．
2
2
2
∴BE=3，OE=2，∴EA=OA﹣OE=2． ∵C′B′∥x轴， ∴△BC′G∽△BEA， ∴
，即
，
22
∴C′G=m．
由平移知，?O′A′B′C′与?OABC的重叠部分四边形C′HAG是平行四边形． ∴S=C′G?C′E=m（3﹣m）=﹣（x﹣）2
+， ∴当m=时，S有最大值为．
（3）答：存在．
在（2）的条件下，抛物线W向右平移4个单位，再向下平移个单位，得到抛物线W′， ∵D（2，﹣1），∴F（6，﹣）；
∴抛物线W′的解析式为：y=（x﹣6）2
﹣． 设M（t，0），
以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形， ①若点N在x轴下方，如答题3所示：
过点D作DP∥y轴，过点F作FP⊥DP于点P， ∵D（2，﹣1），F（6，﹣），∴DP=，FP=4； 过点N作DQ⊥x轴于点Q，
由四边形FDMN为平行四边形，易证△DFP≌△NMQ， ∴MQ=FP=4，NQ=DP=， ∴N（4+t，﹣），
将点N坐标代入抛物线W′的解析式y=（x﹣6）2
﹣，得：（t﹣2）2
﹣=﹣， 解得：t=0或t=4，
∴点M的坐标为（0，0）或（4，0）； ②若点N在x轴上方，（请自行作图） 与①同理，得N（4﹣t，）
将点N坐标代入抛物线W′的解析式y=（x﹣6）2
﹣，得：（t﹣10）2
﹣=，
解得：t=6或t=14，
∴点M的坐标为（6，0）或（14，0）．
综上所述，存在这样的点M和点N，点M的坐标分别为（0，0），（4，0），（6，0），（14，0）．
23
点评： 本题是二次函数压轴题，难度较大．第（1）问考查了待定系数法及二次函数的性质；第（2）问考查了平移变换、平行四边形、相似三角形、二次函数最值等知识点，解题关键是确定重叠部分是一个平行四边形；第（3）问考查了平行四边形、全等三角形、抛物线上点的坐标特征等知识点，解题关键是平行四边形的判定条件．
24