解 令?(?)??3?5?2?7?? 则?(1)?3? ?(2)?2? ?(3)?3是?(A)的特征值? 故 |A3?5A2?7A|?|?(A)|??(1)??(2)??(3)?3?2?3?18?
12? 已知3阶矩阵A的特征值为1? 2? ?3? 求|A*?3A?2E|? 解 因为|A|?1?2?(?3)??6?0? 所以A可逆? 故 A*?|A|A?1??6A?1? A*?3A?2E??6A?1?3A?2E?
令?(?)??6??1?3??2? 则?(1)??1? ?(2)?5? ?(?3)??5是?(A)的特征值? 故 |A*?3A?2E|?|?6A?1?3A?2E|?|?(A)|
??(1)??(2)??(?3)??1?5?(?5)?25?
13? 设A、B都是n阶矩阵? 且A可逆? 证明AB与BA相 似?
证明 取P?A? 则
P?1ABP?A?1ABA?BA?
即AB与BA相似?
?201? 14? 设矩阵A??31x?可相似对角化? 求x?
?405??? 解 由
2??01|A??E|?31??x??(??1)2(??6)?
405??得A的特征值为?1?6? ?2??3?1?
因为A可相似对角化? 所以对于?2??3?1? 齐次线性方程组(A?E)x?0有两个线性无关的解? 因此R(A?E)?1? 由
?101?r?101?(A?E)??30x?~?00x?3?
?404??000?????知当x?3时R(A?E)?1? 即x?3为所求?
?2?12? 15? 已知p?(1? 1? ?1)T是矩阵A??5a3?的一个特征向量?
??1b?2??? (1)求参数a? b及特征向量p所对应的特征值?
解 设?是特征向量p所对应的特征值? 则
2??1??0??2???1 (A??E)p?0? 即?5a??3??1???0??
??1b?2?????1??0???????解之得???1? a??3? b?0?
(2)问A能不能相似对角化？并说明理由? 解 由
2???12|A??E|?5?3??3??(??1)3?
?10?2??得A的特征值为?1??2??3?1? 由
?1?12?r?101?A?E??5?23?~?01?1?
??1b?1??000?????知R(A?E)?2? 所以齐次线性方程组(A?E)x?0的基础解系只有一个解向量? 因此A不能相似对角化?
16? 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵:
?2?20? (1)??21?2?;
?0?20??? 解 将所给矩阵记为A? 由
2???20A??E??21???2?(1??)(??4)(??2)?
0?2??得矩阵A的特征值为?1??2? ?2?1? ?3?4? 对于?1??2? 解方程(A?2E)x?0? 即
?4?20??x1???23?2??x??0? ?0?22??x2????3?122T得特征向量(1? 2? 2)T ? 单位化得p1?(, , )?
333 对于?2?1, 解方程(A?E)x?0? 即
?1?20??x1???20?2??x??0? ?0?2?1??x2????3?212得特征向量(2? 1? ?2)T ? 单位化得p2?(, , ?)T? 333 对于?3?4, 解方程(A?4E)x?0? 即
??2?20??x1???2?3?2??x??0? ?0?2?4??x2????3?221得特征向量(2? ?2? 1)T ? 单位化得p3?(, ?, )T? 333 于是有正交阵P?(p1? p2? p3)? 使P?1AP?diag(?2? 1? 4)?
?22?2? (2)?25?4?? （和书后答案不同，以书后答案为准，解题步骤可以参考）
??2?45??? 解 将所给矩阵记为A? 由
2??2?2A??E?25???4??(??1)2(??10)?
?2?45??得矩阵A的特征值为?1??2?1? ?3?10? 对于?1??2?1? 解方程(A?E)x?0? 即
?12?2??x1??0??24?4??x???0?? ??2?44??x2??0????3???得线性无关特征向量(?2? 1? 0)T和(2? 0? 1)T ? 将它们正交化、单位化得
p1?1(?2, 1, 0)T? p2?1(2, 4, 5)T?
535 对于?3?10, 解方程(A?10E)x?0? 即
??82?2??x1??0??2?5?4??x???0?? ??2?4?5??x2??0????3???得特征向量(?1? ?2? 2)T ? 单位化得p3?1(?1, ?2, 2)T? 3 于是有正交阵P?(p1? p2? p3)? 使P?1AP?diag(1? 1? 10)?
?5??1?2?4? 17? 设矩阵A???2x?2?与????4?相似? 求x? y? 并求一个正交阵
??4?21???y????P? 使P?1AP???
解 已知相似矩阵有相同的特征值? 显然??5? ???4? ??y是?的特征值? 故它们也是A的特征值? 因为???4是A的特征值? 所以
5?2?4|A?4E|??2x?4?2?9(x?4)?0?
?4?25解之得x?4?
已知相似矩阵的行列式相同? 因为
51?2?4|A|??2?4?2??100? |?|??4??20y?
?4?21y所以?20y??100? y?5?
对于??5? 解方程(A?5E)x?0? 得两个线性无关的特征向量(1? 0? ?1)T? (1? ?2? 0)T? 将它们正交化、单位化得
p1?1(1, 0, ?1)T? p2?1(1, ?4, 1)T?
232 对于???4? 解方程(A?4E)x?0? 得特征向量(2? 1? 2)T? 单位化得p3?1(2, 1, 2)T?
3?1??2 于是有正交矩阵P??0?1????2p2?(1? 1? 1)T? p3?(1? 1? 0)T? 求A.
21?332?1?4??? 使P?1AP??? 332?21??332? 18? 设3阶方阵A的特征值为?1?2? ?2??2? ?3?1? 对应的特征向量依次为p1?(0? 1? 1)T? 解 令P?(p1? p2? p3)? 则P?1AP?diag(2? ?2? 1)??? A?P?P?1?
因为
所以
?011???110?P??111???1?11??
?110??01?1??????2?011??200???110???A?P?P?1??111??0?20??1?11????4?110??001??01?1??????????4?1?13?3??5?3?? 4?2?? 19? 设3阶对称阵A的特征值为?1?1? ?2??1? ?3?0? 对应?1、?2的特征向量依次为p1?(1? 2? 2)T? p2?(2? 1? ?2)T? 求A?
?x1x2x3??? 解 设A?x2x4x5? 则Ap1?2p1? Ap2??2p2? 即 ??xxx?356???x1?2x2?2x3?1?x2?2x4?2x5?2? ???① ??x3?2x5?2x6?2??2x1?x2?2x3??2?2x2?x4?2x5??1? ???② ??2x3?x5?2x6?2再由特征值的性质? 有
x1?x4?x6??1??2??3?0? ???③
由①②③解得
1?1x? x?1x? x?2?1x?
32622633462111 x4??x6? x5??x6? 34322211令x6?0? 得x1??? x2?0? x3?? x4?? x5?? 3333??102?1因此 A??012?? 3?220??? x1?? 20? 设3阶对称矩阵A的特征值?1?6? ?2?3? ?3?3? 与特征值?1?6对应的特征向量为p1?(1? 1? 1)T? 求A.