26? 写出下列二次型的矩阵? (1)
21?x?
f(x)?xT??31????22? 解 二次型的矩阵为A???21???
???123? (2)f(x)?xT?456?x?
?789????135??? 解 二次型的矩阵为A??357??
?579??? 27? 求一个正交变换将下列二次型化成标准形: (1) f?2x12?3x22?3x33?4x2x3?
?200? 解 二次型的矩阵为A??032?? 由
?023???2??00A??E?03??2?(2??)(5??)(1??)?
023??得A的特征值为?1?2? ?2?5? ?3?1? 当?1?2时, 解方程(A?2E)x?0? 由
?000??012?A?2E??012?~?001??
?021??000?????得特征向量(1? 0? 0)T? 取p1?(1? 0? 0)T? 当?2?5时? 解方程(A?5E)x?0? 由
??300??100?A?5E??0?22?~?01?1??
?02?2??000?????1, 1)T?
得特征向量(0? 1? 1)T? 取p2?(0, 22 当?3?1时? 解方程(A?E)x?0? 由
?100??100?A?E??022?~?011??
?022??000?????1, 1)T?
得特征向量(0? ?1? 1)T? 取p3?(0, ?22 于是有正交矩阵T?(p1? p2? p3)和正交变换x?Ty? 使
f?2y12?5y22?y32?
(2) f?x12?x22?x32?x42?2x1x2?2x1x4?2x2x3?2x3x4?
?110?1??11?10? 解 二次型矩阵为A??? 由
0?111???1011???1??10?1A??E?11???10?(??1)(??3)(??1)2?
0?11??1?1011??得A的特征值为?1??1? ?2?3? ?3??4?1?
1, ?1, ?1, 1)T?
22221111 当?2?3时? 可得单位特征向量p2?(, , ?, ?)T? 2222 当?1??1时? 可得单位特征向量p1?( 当?3??4?1时? 可得线性无关的单位特征向量
p3?(1, 0, 1, 0)T? p4?(0, 1, 0, 1)T?
2222 于是有正交矩阵T?( p1? p2? p3? p4)和正交变换x?Ty? 使
f??y12?3y22?y32?y42?
28? 求一个正交变换把二次曲面的方程
3x2?5y2?5z2?4xy?4xz?10yz?1
化成标准方程?
?32?2? 解 二次型的矩阵为A??25?5??
??2?55???3??2?2 由|A??E|?25???5???(??2)(??11)? 得
?2?55??A的特征值为?1?2?
?2?11? ?3?0? ?
对于?1?2? 解方程(A?2E)x?0? 得特征向量(4? ?1? 1)T? 单位化得
p1?(4, ?1, 1)?
3232321, 2, ?2)? 3331, 1)?
对于?3?0? 解方程Ax?0? 得特征向量(0? 1? 1)T? 单位化得p3?(0, 22 对于?2?11? 解方程(A?11E)x?0? 得特征向量(1? 2? ?2)T? 单位化得p2?( 于是有正交矩阵P?(p1? p2? p3)? 使P?1AP?diag(2? 11? 0)? 从而有正交变换
?4?2?x??31?y?????z??32??1???32使原二次方程变为标准方程2u2?11v2?1?
10??3?u?21???v??
32??w???21???32? 29? 明? 二次型f?xTAx在||x||?1时的最大值为矩阵A的最大特征值. 证明 A为实对称矩阵? 则有一正交矩阵T? 使得
TAT?1?diag(?1? ?2? ? ? ?? ?n)??
成立? 其中?1? ?2? ? ? ?? ?n为A的特征值? 不妨设?1最大? 作正交变换y?Tx? 即x?TTy? 注意到T?1?TT? 有 f?xTAx?yTTATTy?yT?y??1y12??2y22? ? ? ? ??nyn2? 因为y?Tx正交变换? 所以当||x||?1时? 有
||y||?||x||?1? 即y12?y22? ? ? ? ?yn2?1?
因此
f ??1y12??2y22? ? ? ? ??nyn2??1?
又当y1?1? y2?y3?? ? ??yn?0时f ??1? 所以f max ??1?
30? 用配方法化下列二次形成规范形? 并写出所用变换的矩阵? (1) f(x1? x2? x3)?x12?3x22?5x32?2x1x2?4x1x3?
解 f(x1? x2? x3)?x12?3x22?5x32?2x1x2?4x1x3 ?(x1?x2?2x3)2?4x2x3?2x22?x32 ?(x1?x2?2x3)2?2x22?(2x2?x3)2?
?x?y?5y?2y1123??y1?x1?x2x2?2x32令 ??y?1?2?2? 即?xy?y3?2x2?2?x3?22??x3??2y2?y3二次型化为规范形
f?y12?y22?y32?
所用的变换矩阵为
??1?52?C??2???0120???
??0?21???
(2) f(x1? x2? x3)?x12?2x32?2x1x3?2x2x3? 解 f(x1? x2? x3)?x12?2x32?2x1x3?2x2x3 ?(x1?x3)2?x32?2x2x3? ?(x1?x3)2?x22?(x2?x3)2?
??y1?x1?x3??x1?y1?y2?y3令 ?y2?x2? 即?x2?y2?
??y3?x2?x3??x3??y2?y3二次型化为规范形
f?y12?y22?y32?
所用的变换矩阵为
C???11?0?1??0?110?1??
? (3) f(x1? x2? x3)?2x12?x22?4x32?2x1x2?2x2x3? 解 f(x1? x2? x3)?2x12?x22?4x32?2x1x2?2x2x3?
? 22?2(x1?1x2)2?1x2?4x3?2x2x3
22112 ?2(x1?x2)2?(x2?2x3)2?2x3?
22?x?1y??y?2(x?1x)1?121?122?1(x?2x)? 即?x?2y?令 ?y2??22232???x3?1y3?y3?2x3?2?
1y?1y22232y? 32二次型化为规范形
f?y12?y22?y32?
所用的变换矩阵为
?1?1?1?1C??022?? 2?001??? 31? 设
f?x12?x22?5x32?2ax1x2?2x1x3?4x2x3
为正定二次型? 求a?
?1a?1? 解 二次型的矩阵为A??a12?? 其主子式为
??125???1a?11a a11?1? ?1?a2? a12??a(5a?4)? a1?125 因为f为正主二次型? 所以必有1?a2?0且?a(5a?4)?0? 解之得?
32? 判别下列二次型的正定性? (1) f??2x12?6x22?4x32?2x1x2?2x1x3?
4?a?0?
5??211? 解 二次型的矩阵为A??1?60?? 因为
?10?4???a11??2?0? ?21?11?0? |A|??38?0?
1?6所以f为负定?
(2) f?x12?3x22?9x32?19x42?2x1x2?4x1x3?2x1x4?6x2x4?12x3x4?
?1??1 解 二次型的矩阵为A??2?1?1??3?? 因为 ?6?19??1?121?1?4?0, ?130?6?0, A?24?0? a11?1?0?
?13209?130?3209?6所以f为正定?
33? 证明对称阵A为正定的充分必要条件是? 存在可逆矩阵U? 使A?U TU? 即A与单位阵E合同?
证明 因为对称阵A为正定的? 所以存在正交矩阵P使
PTAP?diag(?1? ?2? ? ? ?? ?n)??? 即A?P?PT?
其中?1? ?2? ? ? ?? ?n均为正数? 令?1?diag(?1, ?2, ? ? ? ,?n)? 则???1?1? A?P?1?1TPT?
再令U??1TPT? 则U可逆? 且A?UTU?