a11??2?0? ?21?11?0? |A|??38?0?
1?6所以f为负定?
(2) f?x12?3x22?9x32?19x42?2x1x2?4x1x3?2x1x4?6x2x4?12x3x4?
?1??1 解 二次型的矩阵为A??2?1?1??3?? 因为 ?6?19??1?121?1?4?0, ?130?6?0, A?24?0? a11?1?0?
?13209?130?3209?6所以f为正定?
33? 证明对称阵A为正定的充分必要条件是? 存在可逆矩阵U? 使A?U TU? 即A与单位阵E合同?
证明 因为对称阵A为正定的? 所以存在正交矩阵P使
PTAP?diag(?1? ?2? ? ? ?? ?n)??? 即A?P?PT?
其中?1? ?2? ? ? ?? ?n均为正数? 令?1?diag(?1, ?2, ? ? ? ,?n)? 则???1?1? A?P?1?1TPT?
再令U??1TPT? 则U可逆? 且A?UTU?