习 题 5.1
1. 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值： （1）
1?1xdx, （2）?R?RR2?xdx, （3）?22?0cosxdx, （4）?1?1xdx.
解：若x??a,b?时,f(x)?0,则?bf(x)dx在几何上表示由曲线y?f(x)，直线
ax?a,x?b及x轴所围成平面图形的面积. 若x??a,b?时，f(x)?0,则?baf(x)dx在几何
上表示由曲线y?f(x)，直线x?a,x?b及x轴所围平面图形面积的负值. （1）由下图（1）所示，??1xdx?(?A1)?A1?0.
y R 1y 1 -1 A 1 A 1 A 2 O R 1 O - 1 ( 1 )
x ?R x ( 2 )
y y 1 A 3 A 5 π A 4 2 π x O - 1 ( 3 )
1 A6?1 A6O 1 ?1 x (4)
（2）由上图（2）所示，?R?RR?xdx?A2?22πR22.
（3）由上图（3）所示，?0cosxdx?A3?(?A4)?A5?A3?A5?(?A3?A5)?0. （4）由上图（4）所示，??1xdx?2A6?2?12π12?1?1?1.
2. 设物体以速度v?2t?1作直线运动，用定积分表示时间t从0到5该物体移动的路程S.
1
解：s??50(2t?1)dt
b3. 用定积分的定义计算定积分?cdx,其中c为一定常数.
a解：任取分点a?x0?x1?x2???xn?b,把[a,b]分成n个小区间
[xi?1,xi](i?1,2?n)，小区间长度记为
?i=xi-xi?1(i?1,2?n),在每个小区间
?xi?1,xi?上任取一点?i作乘积f(?i)??xi的和式：
nn?i?1bf(?i)??xi??c?(xi?1i?xi?1)?c(b?a),
n记??max{?xi}, 则?cdx?lim1?i?na??0?i?f(?i)??xi?limc(b?a)?c(b?a).
??04. 利用定积分定义计算
?0xdx.
2解：f(x)?x2在[0,1]上连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对?0,1? n等分，分点xi?inn,i?1,2,?,n?1;?i取相应小区间的右端点，故
n2in2in ?f(?i)?xi????xi??x?xi=?()i?1i?1i?1i21n1n2i?1n?1n3n?ii?12
=
1n3?16n(n?1)(2n?1) =
16(1?1)(2?1n13)
当??0时（即n??时），由定积分的定义得： ?xdx=
0．
5. 利用定积分的估值公式，估计定积分?(4x?2x?5)dx的值.
?1143解：先求f(x)?4x?2x?5在??1,1?上的最值，由
4332 f?(x)?16x?6x?0, 得x?0或x?38.
比较 f(?1)?11,f(0)?5,f()??8fmin327102427??,fmax?11，
1024,f(1)?7的大小，知
由定积分的估值公式，得fmin?[1?(?1)]?即 ?27512??1?1(4x?2x?5)dx?fmax??1?(?1)?,
43?1?1(4x?2x?5)dx?22.
43 2
6. 利用定积分的性质说明?edx与?edx，哪个积分值较大？
0 0 1x 1x2解：在?0,1?区间内：x?x?e?e2xx2
由比较定理： ?edx? 012 1x?e 1 0e2x2dx
7. 证明：2e?1??2?12?xdx?2。
证明：考虑????12,21??x上的函数，则 y?e?2??x，令y??0得x?0 y???2xe2当x?????1?,0?时，y??0 2?当x??0,??1??时，y??0 2??x2∴y?e1?x2在x?0处取最大值y?1，且y?e1211在x??12112e?x2处取最小值e?12.
故??212e?dx???212e?x2dx???2121dx，即2e???2?12dx?2。
8. 求函数f(x)?解：平均值??11?x2在闭区间[-1，1]上的平均值.
1π?11?xdx??2222?1?(?1)1?1?π4
a19. 设f(x)在[0，1]上连续且单调递减，试证对任何a?(0,1)有?f(x)dx?a?f(x)dx.
00证明： ?f(x)dx?a?f(x)dx=?f(x)dx?a?f(x)dx?a?f(x)dx
0 0 0 0aa1aa1 ?(1?a)?f(x)dx?a?f(x)dx=(1?a)af(?)?(1?a)af(?)
0aa1 ?(1?a)a[f(?)?f(?)] 其中 0???a,a???1
又f(x)单调减，则f(?)?f(?)，故原式得证.
3
习 题 5-2
1. 计算下列定积分 （1）?2?xdx; （2）?41x|x|dx; （3）?22π|sinx|dx; (4) ?max{x,1?x}dx.
10?20024解：（1）?42?xdx2(2dx20??0?x)??4(x2x?12?2)dx?(2x2)?(102x?2x)?4
2401（2）?1x2|x|dx=?0(?x3)dx13xx4=4+
117?2?2+?xdx=?04??2404?4.
（3）?2π|sinx|dxπ2ππ(?sinx)dxπ?cosx2π0=?sinxdx0+?=(?cosx)0π=2+2=4.
(4) ?11max{x,1?x}dx=?200(1?x)dx??11xdx?425.
2. 计算下列各题： （1）?1x100dx1x, （4）?1x0， （2）?4xdx1， （3）?edx0100dx0,
ππ（5）?220sinxdx, （6）?1xex0dx, （7）?20sin(2x?π)dx, （8）?elnx1dx12xdx, （9）?0100?x2,
π（10）?4tanx0cos2xdx,
1011解：（1）?1x100dx.
0=
x101?10101（2）?434xdx1=
2143x2?13.
（3）?1xx10edx?e0?e?1.
x1（4）?1x100990100dx=
ln100?0ln100.
ππ（5）?20sinxdx??cosx20?1.
x21（6）?1x2x?120xed2?1x20ed(x)?e2?e?102.
4
π（7）?21ππ0sin(2x?π)dx=
2?20sin(2x?π)d(2x?π)=?12cos(2x?π)2=?1.
0ee(8) ?elnxlnxd(lnx)=
112xdx=
12?14ln2x?1.
141dx=
1dx1(9) ?=
1arctanx10100?x2100?101?(x21010=
010arctan110.
10)πππ（10）?4tanx=4)24=
1.
0cos2xdx?tanxd(tanx)=
(tanx02023. 求下列极限
dt（1） lim?xx1sinπtdtarctant;（2）?2lim?0?. x?11?cosπxx???x2?1解：（1）此极限是“00”型未定型，由洛必达法则，得
x(=?x1sinπtdtsinπtdt)?lim?1=?lim(11x?11?cosπxlimx?1(1?cosπx)?limsinπxx?1?πsinπxx?1?π)??πxarctant22（2）?dt?型lim?0??lim?arctanx?2x???x2?1x???1?xlimx?1?arctanx?2????
x22?1??122xxx1?1arctanx2??limx2?xx???x?lim1?1x???x2?arctan?2??24
4. 设y??x0(t?1)dt，求y的极小值
解： 当y'??x?1??0，得驻点x?1，
y''?1?0.x?1为极小值点，
极小值y(1)??1(x?1)dx?- 102
?xx?15. 设f?x????1,，求?2?1?20f?x?dx。
?2x,x?11解：?2f?x?dx?1x?1?dx?2120??0?12x2dx???1x2?x???1x3?8?2?0613
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