?x?a?5.已知lim??x???x?a??x????a4xe2?2xdx，求常数a
2a??解：左端?lim?1??x???x?a??x?e?2a
??a2?2x右端????2xa2?2a??2e?2x?d??2x???xde?2x?2xde?2a2?2x??2??xe?????a?2x????a2xe?2xdx?? ? ?2ae?2????2ae2?2x?2??xe????edx?? a?aa ??2a2?2a?1?e?2a ∴?2a2?2a?1?e?2a?e?2a
解之a?0或a??1。
习 题 5-5
1、求由下列曲线围成的平面图形的面积： （1）y?1x及直线y?x,x?2,y?0；
?1解：如图，解方程组??y?x，得交点(1,1)，所求面积为
??y?xA??21(x?1x)dx?[x22?lnx]231?2?ln2.
2（2）y?x22与x?y2?8（两部分均应计算）；
?2解：如图，解方程组??y?x2，得交点(?2,2)、(2,2)， ??x2?y2?8所求上半部分面积为
A22上?2A1?2?0(8?x?x22)dx?2π?43.
所求下半部分面积为
?
16
A下?S圆?A上?8π?(2π?43)?6π?43
（3）y?ex,y?e?x与直线x?1；
?y?ex解：如图，解方程组?，得交点(0,1)，所求面积为 ?xy?e?
A?
?10(e?ex?x)dx?[e?ex?x]0?e?e1?1?2.
（4）y?lnx,y轴与直线y?lna,y?lnb(b?a?0). 解：选为y积分变量，如图，所求面积为
A??lnblnaedy?[e]lna?b?a
3cos?所围公共部分的面积
yylnb yθ?π32.求二曲线r?sin?与r?解： 当?等于0和面积为
A?1π30π3时，两曲线相交，所围公共部分的
?2sinθdθ?21π2π3?23cosθdθ?25π24?34x.
O3、求由y?x3,x?2,y?0所围成的图形，绕x轴及y轴旋转所得的两个不同的旋转体的体积.
解：如图，绕x轴旋转所得的旋转体的体积为
Vx??20πydx?2?20πxdx?[617πx]0?721287π
绕y轴旋转所得的旋转体的体积为.
Vy?2?π?8?352?80πxdy?32π?π?y3dy
082225?32π?[πy3]0?645π
4、有一立体，以长半轴a?10、短半轴b?5的椭圆为底， 而垂直于长轴的截面都是等边三角形，求该立体的体积. 解：解：取坐标系如图，底面椭圆方程为
x1022?y522?1
垂直于x轴的截面为等边三角形，对应于x的 截面的面积为
o
yxbax 17
A(x)?34(102?x)
2于是所求立体体积为
V??1034?10(102?x)dx?234[10x?2x33]?10?1033?10
35、计算曲线y?lnx相对应于x?解：由弧长的公式得:
s?3到x?8的一段曲线弧长.
?831?y?dx?342?831?431x2dx??831?xx2dx?1?12ln32.
6、计算???1相应于自??解：由弧长的极坐标公式得:
4到??的一段弧长.
4s??334?(?)???(?)d??22?334()?(?1214??2)d??2?3312?41??2d??512?ln32.
7、略
8、设把一金属杆的长度由a拉长到a?x时，所需的力等于求将该金属杆由长度a拉长到b所作的功.
解：由于金属杆拉长所需的力f与拉长的长度成正比x，且f?kxakxa，其中k为常数，试
，其中k为常数。选择
金属杆拉长的长度x为积分变量，其取值范围为?0,b?a?，对于任意x??0,b?a?，在拉长的长度区间?x,x?dx?上，功元素为dW?fdx?b?akxadx，于是
b?aW??kxa0dx?k?ab?a02k?x?xdx???a?2?0?k(b?a)2a2。
9.一个底半径为Rm，高为Hm的圆柱形水桶装满了水，要把桶内的水全部吸出，需要做多少功（水的密度为10kg/m,g取10m/s解：建立如图坐标系. 取x为积分变量,
x?[0,H], 任取子区间[x,x?dx]?[0,H]，
332）？
x x?dx O y
(H,R) 相应一薄层水被抽到桶外需做的功近似为
dW?πRdx??水g?x, 于是，把桶内的水全部吸出，需做功
2 x 18
W??H0?水gπRxdx??水gπR22x2H2?012?水gπRH22?5000πRH(J).
2210、一矩形闸门垂直立于水中，宽为10m，高为6m，问闸门上边界在水面下多少米时？ 它所受的压力等于上边界与水面相齐时所受压力的两倍.
解：设所求高度为h，建立如图坐标系，任取小区间[x,x?dx]，
(h ,0) y 小区间上压力元素为
dF?6?gxdx 于是，由题意得：
2?6?gxdx??06h?6h x dx (5,6) 6?gxdx
2[x22]?[60x22]hh?6
从而h?3。
习题5-6
略
本章复习题A
1、求下列极限： （1）lim(n??nn?12?nn?222???nn?n22)；（2）lim?x01?tdtx2；
x?0 （3）lim1nnn??n(n?1)?(2n?1)；（4）lim1?x3?cosx1edt2t2x?0x。
2、求G(x)??1sintdt的导函数G?(x)。
33、求证下列各式： （1）?2??32xx?1?1dx?2；（2）?1dt1?t21x??xdt1?t2。
14、求下列积分： （1）?2exx?2e?1e?10（2）?dx；
(x?1)(x?2)3x122（3） ?2?xdx； dx；
04 （4） ?5、略.
ln(x?1)dx；（5）?01?xdx。
19
6、若?2ln2dt
x??et?16，求x。7.略. 8.略 9.略
参考答案： 1、解：（1）lim(nnnn??n2?1?n2?22???n2)?n2 ?lim1(11???1n??n1?(1?2(222n)1?n)1?(n)
n) ?lim1n111dx?arctanx1?n??n?k?11?(k?2?01?x20?4。
n)x1?t2dt（2）lim?01?x2x?0x?limx?01?1。
（3）令lim1nnn(n?1)?(2n?1)?n??limf(n) n?? limlnf(n)?lim{1[lnn?ln(n?1)???ln(2n?1)?lnn}
n??n??n ?lim1n??n[lnn?ln(n?1)???ln(2n?1)?nlnn] ?lim1n[ln(1?0)?ln(1?1n)???ln(1?n?1n??n)]
??10ln(1?x)dx?2ln2?1
故lim1nnn(n?1)?(2n?1)?4n??e。 cosx2edtcos2x（4）?tlim1???1cos2x?sinx1x?0lime(?sinx)x2x?02x2limex?0x??2e。2、解：G?(x)?sin(1?x3)3(1?x3)??3x2sin(1?x3)3。 3、证明：（1）设f(x)?xx2?1，先f(x)求在[?1,3]上的最大、最小值。
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