?elnxdx?xlnxe111??edx?e?e?1?1,
故 ?e?1e1lnxdx??1lnxdx??lnxdx?1?2ee1e?1?2?2e.
????（10）?2xsinxdx??xcosx20?x?sinx20?2cosxd00?1
4. 利用函数的奇偶性计算下列积分：
（1）?1?(x?1?x2)2dx2；
?1; (2) ?4cos4xdx??2 (3)?5x3sin2xa?5x4?2x2?1dx; （4）??a(xcosx?5sinx?2)dx.
解：(1) ?1(x?1?x2)2dx=?11dx?2?1x1?x2dx?2?0?2?1?1?1
??(2) 原式?2?2204cos4xdx?2?20?2cosx?2dx
???2?220?1?cos2x?2dx?2?0?1?2cos2x?cos22x?dx
????2x220?2?20cos2xdx??0?1?cos4x?dx
??????2sin2x20??2?124?0cos4xd4x?32??14sin4x2?32?0(3) ∵
x3sin2x42为奇函数
x?2x?132∴?5xsinxd0
?5x4?2x2?1x?（4） 利用定积分的线性性质可得
原式??a?axcosxdx??aa?a5sinxdx???a2dx
而前两个积分的被积函数都是奇数，故这两个定积分值均为0，
11
原式??a?a2dx?2?ldx?4a
?aa5. 如果b?0，且?b1lnxdx?1,求b
解：?blndx?xlnxbb11??x?11xdx?blnb?(b?1)?blnb?b?1
由已知条件得 blnb?b?1?1
blnb?b?0，即blnb?b
?b?0，?lnb?1， 即得b?e。 6.若f(x)在区间[0,1]上连续,证明
??(1)?20f(sinx)dx=?20f(cosx)dx (2)????x0xf(sinx)dx=
2?f(sinx)dx
0,由此计算 ??xsin01?cos2xdx证明：（1）设x???2?t,则dx??dt.且当x?0时，t?2；当x??2,时t?0.
?故 ?2f(sinx)dx???0?0f??sin????t???0??dt???f?cost?dt?2??2???2?20f(cosx)dx
（2）设x???t，??00xf(sinx)dx???(??t)f[sin(??t)d(?t)
???(sint)dt0?f(sint)dt???0tf
?
???0xf(sint)dx=
2??f(sint)dt0 利用此公式可得
??xsinx?sinx1?cos2dx=
?dx=???1x0x2?01?cos2x2?1?cos2xdcos02 =??2?arctg(cosx)???0 =
.
47. 设f?x?在?0,2a?上连续，证明 ?2af?x?dx??a00?f?x??f?2a?x??dx。
证明 ?2a0f?x?dx??a??2a0fxdx??af?x?dx.令x?2a?u，dx??du，则
?2aaaaf?x?dx??0f?2a?u?du??0f?2a?x?dx
故?2af?x?dx?0?a?f?x??f?2a?x??dx0.
8. 设f?x?是以?为周期的连续函数，证明：
12
?2??0?sinx?x?f?x?dx??0?2x???f?x?dx。
证明 ?2??sinx?x?x?f?x?dx0?x?f?x?dx ????sinx?x?f?x?dx?0?2??sin.
令x???u，则
?2????sinx?x?f?x?dx???sin???u?0???u?f???u?du
????u??sinu?f?u?du0? (∵f?x?以?为周期)
故?2???0sinx?x?f?x?dx???02x???f?x?dx
9. 设f??(x)在[a,b]上连续，证明：?bxf??(x)dxf?(b)a?[b?f(b)]?[af?(a)?f(a)]证明 利用分部积分法，
?bxf??(x)dx??b?b)?af?(a)?f(x)baaxdf(x)?[xf?(x)]ba??af?(x)dx=bf?(ba
?[bf?(b)?f(b)]?[af?(a)?f(a)]
习 题 5-4
1. 下列解法是否正确？为什么？
212??1xdx?ln|x|?ln2?ln1?ln2.
?1答：不正确.因为
1x在[?1，2]上存在无穷间断点x?0 ，
?21xdx不能直接应用Newton?Leibniz公式计算，事实上，
?1?21dx?1+??1121?1x?0?1xdx?210xdx?lim??1?0??1xdx+lim??2?0??dx
2x?limx)1lnx??ln(??????1+lim?21?0?2?0???2
?lim?ln?1+ln2?lim?0???2不存在,
?12?0故?21x发散.
?1xd3. 下列广义积分是否收敛？若收敛，则求出其值.
（1）???1dx ；
0x2dx ； （2）???e?100x12（3）???1?x??1?x4dx ； （4）???dx0100?x2
13
（5）???11(x?1)1xlnxdx； （6）?3??0e?2xdx；
（7）???0dx； （8）?????02dx?1?x??1?x?????0?
解：（1）????01x2dx=(?1x)0?lim?x?01x?lim1x???,
x????
??1???01x2dx发散. e?100x??（2）?e?100xdx=?100?0?(?1e?100100)?1100e?100
1（3）?????1?x1?x24dx?2???01?x1?x24dx?2???0x1x22?1?x2dx?2???011??x????2x??21??d?x??
x???22x?arctg1x??20??2?
（4）???0dx100?x2=
110arctanx10???0π20.
（5）???11(x?1)dx?[?312??(x?1)?21]??18
（6）?（7）???0e?3xdx?[?13??e?3x0]?13
??e??e1exlnxlnx11（8）令x?，则dx??2dt，于是
ttdx????1d(lnx)?ln(lnx)???
???02dx?1?x??1?x??????0???1?tt221t2dt1?tt??????1?t??1?t??
02??tdt?∴2?
dx0?1?x??1?x2? ???????1?x??1?x??1?x??1?x??0202??dx??xdx?14
????1?01?x2dx?arctgx??0?2
从而???dx0?1?x2??1?x????4。
3.下列广义积分是否收敛？若收敛，则求出其值.
2（1）?6(x?4)?3dx0 （2） ?1arcsinx0x?1?x?dx
（3）?1arcsinx0dx （4）dx1?x2?ba?x?a??b?x??b?a?（收敛的广义积分）解：（1）?2?6(x?4)3dx6?234?230 =?4(x?4)dx+?0(x?4)dx
1614=3(x?4)3?3(x?4)3?3?32?0?0?33?4?3(32?34)
40(2) 令arcsinx?t，dt?1dx1?x?2x于是
1arcsinx??2?220x?1?x?dx?2?20tdt?t0??
4(3) ?1arcsinxxarcsinxx?1??0d?limlim1?x2???0?1??0d1?x2???0?0arcsinxd(arcsinx)
2 ?lim121??????02(arcsinx)0lim1。
02[arcsin(1??)]2?????8(4) 令x?acos2t?bsin2t，0?t??2，则
??bdx?a?x?a??b?x??2?b?a?sin2t0?b?a?costsintdt??
4.证明广义积分 ?bdx当q?1时收敛；当q?1时发散。
a(x?a)q证明：当q?1时,?bdxx?a?a)a?ln(x??ba???，发散；
1?q?b?(b?a)1?q当q?1时,?bdx=?(x?a)??,q?1a(x?a)q??1?q??1?q。 ?a????,q?1
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