高等数学综合练习题
1、设a?0，{xn}满足：
x0?0,xn?1?1a(xn?),2xnn?0,1,2?,
xn。证明：{xn}收敛，并求lim n??分析：用数列通项表示的这种类型题目，往往要用单调有界必有极限这个定理来解决，因此先要用不等式技术证明{xn}单调且有界。 证明: （1） 证明：易见，xn?0,(n?0,1,2,?),则
xn?1?xnaxn?a，
2a?xn1a 从而有： xn?1?xn?(xn?)?xn??0，
2xn2xn 故{xn}单调减少，且有下界。所以{xn}收敛。
xn?l， 在xn?1?1(xn?a)两边同时取极限得 （2）设limn??2xnl?limxn?1?1lim(xn?a)?1(l?a), n??2n??xn2lxn?a。 解之得l?a，即limn??? ?1?x?2、设f(x)在x?0的邻域具有二阶导数，且limx?0?f(0)，f?(0)及f??(0).
f(x)?3?e，试求?x?1x分析：这种类型的题目，先要取对数将指数去掉化成分式。再根据分式极限为常数而分母极限为零，得到分子极限为零。另外求一点的导数往往要用定义。
f(x)x[1?x?]?e3得 解 由limx?0x1 1
ln[1?x?limf(x)]x?3，
x?0x因为分母极限为零，从而分子极限为零，即
limln[1f(x)x?0?x?x]?0， 可以得到limf(x)x?0x?0， 同样，我们有
limx?0f(x)?0?f(0)，
由导数的定义得
f'(0)?limf(x)?f(0)x?0x?0?0。
因为f(x)在x?0的邻域具有二阶导数，由泰勒公式得
f(x)?1f\(0)x2?0(x22)(x?0)） 两边取极限得
limx?0[10(x2)2f\(0)?x2]?2， 故f\(0)?4。
3、设a?0，且f(x)在[a,??)满足：
?x,y?[a,??)，有|f(x)?f(y)|?K|x?y|（K?0为常数）。证明：
f(x)x在[a,??)有界。 证明： 由条件知，?x?[a,??)，有
|f(x)?f(a)|?K|x?a|，
则
|f(x)|?|f(x)?f(a)|?|f(a)|?K|x?a|?|f(a)|，从而
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故
f(x)|f(a)||x?a||f(a)|x?a|f(a)|?K??K??K?， x|x||x|xxaf(x)在[a,??)有界。 xx? x?0;?e, 4、设函数f(x)??2且f ??(0)存在, 试确定常数a, b, c.
??ax?bx?c, x?0分析：这是一个分段函数，分段函数在分段点的导数要用定义求。 解：由条件可知函数f(x)在x?0处连续, 故c?f(0)?1。
?ex, x?0,由条件可知f?(x)在x?0处连续,且f?(x)??, 故
?2ax?b, x?0b?f?(0)?1。
?ex, ?ex, x?0,x?0;因此f?(x)?? 从而f??(x)??，故2a?f??(0)?1，则
?2ax?1, x?0,?2a, x?0a?1。 2
5、设当x??1时, 可微函数f(x)满足条件f?(x)?f(x)?且f(0)?1，试证: 当x?0时, 有e?x?f(x)?1成立.
分析：这是一个积分微分方程，可以通过两边求导变成一个微分方程，然后求解。
证明: 设由题设知f?(0)??1, 则所给方程可变形为
(x?1)f?(x)?(x?1)f(x)??f(t)dt?0.
0x1 xf(t)dt?0，x?1? 0两端对x求导并整理得
(x?1)f??(x)?(x?2)f?(x)?0，
这是一个可降阶的二阶微分方程,可用分离变量法求得
Ce?xf?(x)?.
1?x
3
e?x?0, 可见f(x)单减. 由f?(0)??1得c??1, f?(x)??1?x而f(0)?1, 所以当x?0时,f(x)?1。
e?t?0在[0,x]上进行积分得 对f?(t)??1?txe?tf(x)?f(0)??dt?1??e-tdt?e?x. 01?t0x
6、计算三重积分
I????Vx2y2z2(2?2?2)dxdydz。 abcx2y2z2其中V是椭球体2?2?2?1。
abc分析：计算二重积分和三重积分是数学竞赛和考研的基本内容，这种题目都是将重积分化成累次积分，而累次积分的关键是要确定出每个积分的限，确定积分的限一定要根据所给积分的图形区域，因此正确画出图形或者是想象出图形是解决问题的关键。 解： 由于
I????Vx2dxdydz?2a???Vy2dxdydz?2b???Vz2dxdydz， 2c其中
???Vx2dxdydz?a2?x2dxdydz， ?aa2Da??这里D表示椭球面
y2z2x2 2?2?1?2
bca
4
或
y2x22b(1?2)a?z2x22c(1?2)a?1。
它的面积为
x2x2x2 ?(b1?2)(c1?2)??bc(1?2)。
aaa于是 ???Vx2dxdydz?a2?a?bc?ax24x(1?)dx??abc。
15a2a22同理可得 ???Vy24dxdydz??abc， 215bz24dxdydz??abc。
15c2 ???V所以 I?3(4?abc)?4?abc。
1557、讨论积分????xcosxdx的敛散性。 xp?xq分析：积分敛散性的讨论是数学中的一个难点，要用不等式技术和一些重要结论，其中Cauchy收敛准则起作很大的作用。 解：首先注意到
?x?(1?p)xp?(1?q)xq? ?pq??。 pq2x?x??x?x???x??若max(p,q)?1，则当x充分大时，?pq??0，从而当x充分大时，
?x?x?函数
x是递减的，且这时 xp?xqx?0。 limpx???x?xqA又因??cosxdx?sinA?1（对任何A??），故????xcosxdx收敛。 xp?xq?xx??若max(p,q)?1，则恒有?pq??0，故函数pq在x??上是递增
x?x?x?x?的。于是，?正整数n，有
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