令x?1得
111111111f(0)?f()?f'()?f\()()2?f\(?2)()3,?2?(,1).
222222622因为f'(1)?0，所以
21?1?|f(1)?f(0)|?[|f???(?1)|?|f???(?2)|]??6?2?3.
令 f???(?)?max{|f???(?1)|,f???(?2)}， 则
|f(1)?f(0)|?1|f???(?)|， 24代入f(0)?1,f(1)?2，得|f???(?)|?24. 16、（2003高数一）将函数f(x)?arctan(?1)n级数?的和.
n?02n?1?1?2x展开成x的幂级数，并求1?2x分析：给定的函数是一个反正切函数不能直接展开，由于它的导数是一个分式函数，可以展开，因此可以考虑先求导数。
?211nn2n解： 因为f?(x)????2(?1)4x,x?(?,). ?221?4x2n?0又f(0)=, 所以
f(x)?f(0)??f?(t)dt?0x?4?4?2?[?(?1)n4nt2n]dt
0n?0x?(?1)n4n2n?111 =?2?x,x?(?,).
422n?02n?1??1(?1)n因为级数?收敛，函数f(x)在x?处连续，所以
2n?02n?1?(?1)n4n2n?111 f(x)??2?x,x?(?,].
422n?02n?1??令x?，得
12 11
?1?(?1)4n1??(?1)n f()??2?[, ?2n?1]???242n?142n?12n?0n?0再由f()?0，得
(?1)n?1? ???f()?.
424n?02n?1?1217、（2003高数一）设函数f(x)连续且恒大于零，
F(t)?????(t)f(x2?y2?z2)dv2D(t)??f(x?y)d?2，G(t)?D(t)??f(x2?y2)d??t?1f(x)dx2，
其中?(t)?{(x,y,z)x2?y2?z2?t2}，D(t)?{(x,y)x2?y2?t2}. (1) 讨论F(t)在区间(0,??)内的单调性. (2) 证明当t>0时，F(t)?2?G(t).
分析：要判定一个函数的单调性，往往要求它的导数。这是一个变限的积分，可以利用变限积分的求导法则。由于是一个重积分，因此先要计算重积分。 解：(1) 因为
? F(t)?2?0d??d??f(r)rsin?dr?t22?02?00td??f(r)rdr0t2?2?f(r2)r2drt?0t0f(r)rdr2，
F?(t)?2tf(t2)?f(r2)r(t?r)dr[?f(r)rdr]00t22，
所以在(0,??)上F?(t)?0，故F(t) 在(0,??)内单调增加. （2） 因
G(t)???f(r2)rdrt0t?0f(r)dr2，
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要证明t>0时F(t)?t222?G(t)，只需证明t>0时，F(t)?t2t2?G(t)?0，即
?0f(r)rdr?0f(r)dr?[?0f(r2)rdr]2?0. 令 g(t)??0f(r2)r2dr?0f(r2)dr?[?0f(r2)rdr]2，
则 g?(t)?f(t2)?0f(r2)(t?r)2dr?0，故g(t)在(0,??)内单调增加.
因为g(t)在t=0处连续，所以当t>0时，有g(t)>g(0). 又g(0)=0, 故当t>0时，g(t)>0, 因此，当t>0时，F(t)?2tttt?G(t).
??a18、（2004年上海交通大学）设?f(x)= 0. 致连续，证明xlim???f(x)dx收敛,且f(x)在?a,???上一
分析：这是一个综合性的题目，首先要搞清楚一致连续的概念，可以构造一个级数，通过构造的级数的收敛性得到通项趋近于零，然后转化为函数趋近于零。
证：因f(x)在?a,???上一致连续，故???0，???0，使得当
t1,t2??a,???且t1?t2??时，有f(t1)?f(t2)?a?n??2。
令un?a?(n?1)??f(x)dx，则由积分第一中值定理得，
a?n??xn??a?(n?1)?,a?n??，使得un?因???aa?(n?1)??f(x)dx??f(xn).
f(x)dx收敛，故级数?un收敛，从而un?0，即
n?1??f(xn)?0，也即f(xn)?0，故对上述的?，存在N???，使得
当n?N时，f(xn)??2.
取X?a?N?，则当x?X时，因
13
x??a,?????a?(k?1)?,a?k??
k?0?故存在惟一的k???，使得x??a?(k?1)?,a?k??，易见k?N，且
x?xk??，从而
f(x)?f(xk)?f(x)?f(xk)??2??2??
19、（2004年上海交通大学）计算下述积分：
??Dy?x2dxdy，其中D是矩形区域x?1，0?y?2。
分析：被积函数带有绝对值的定积分的计算关键在于去掉绝对值，要去掉绝对值就要将积分区域分块。
解： 记D1?{(x,y)|x?1,0?y?2,y?x2?0}
D2?{(x,y)|x?1,0?y?2,0?y?x2}，
??Dy?x2dxdy???1D1x2?ydxdy???x212D2y?x2dxdy
2121??dx?(x2?y)dy??dx?(y?x2)dy
?10?1x23222222??(x)dx??(2?x)dx 3?13?14422??(x2)dx??(2?x2)dx 303013131134316??xdx??cos4tdt (这里x?2sint) 3030116?1?cos2t??????dt 330?2?14?1?cos4t?????1?2cos2t??dt 330?2?
14
π4π421π414?3sin4t????t?sin2t? ?33?28?0?14?3π?π5???1??? 33?8?23π420、求曲线积分 I??L(exsiny?b(x?y))dx?(excosy?ax)dy，其中a与b为正常数，L为从点A(2a,0)沿曲线y?2ax?x2到点O(0,0)的弧。 分析：沿曲线积分的关键在于将所有变量都转化成某一变量，因此将曲线写成参数方程就可以了。也可利用格林公式来解。 解：因exsinydx?excosydy?d(exsiny) 故
?Lexsinydx?excosydy?exsiny(0,0)?0(2a,0)
而L的参数方程为
x?a?acost,y?asint,0?t??,
所以
??Lb(x?y)dx?axdy????ba2(sint?sintcost?sin2t)?a3(1?cost)costdt
0
??????1?a2b??2???a3
?2?2因此
???1I??a2b??2???a3
?2?221、设函数f具有一阶连续导数，f\(0)存在，且f'(0)?0，f(0)?0，
?f(x) , x?0 ,? g(x)??x? x?0 .?a , 15