证四 设辅助函数F(x)??f(t)dt?xf(x)，x?[0, 1]。
x02xxxxF?(x)?f(x)?f()?f?() （对f(x)在[，x]上用
2222?Lagrange定理）
Lagrange
xxxxxxf?(?)?f?()?[f?(?)?f?()] ??(, x) (对f?(x)用222222定理)
?xxx(??)f??(?)?0 ??(,?) 222?F(x)在[0，1]单调减少，
F(1)?F(0)，即
?1f(t)dt?f()?0021，
?1f(x)dx?f(). 021分析： 利用分部积分法可将被积函数求导，两次使用分部积分法就可得到二阶导数，从而可以利用已知条件加以证明. 证五 ?120f(x)dx?xf(x)120??120111xf?(x)dx?f()?222?120f?(x)dx2
1111?2?f()??xf?(x)2?0222???120?1111xf??(x)dx??f()?f?().
2282??2同理可证 ?11f(x)dx?21111f()?f?() , 两式相加得证. 2282??11?n27、设un?0 (n?1,2,?)且 lim?1，求证：级数 ?(?1)n?1???n??uuun?1nn?1??n
条件收敛.
分析：先要判断不是绝对收敛的，再判断是收敛的。另一方面，由已知条件可以看出需要对所判断的级数进行变形。 解?limn??n1n1?1,?un??? (n??), ?N?N?,?n?N,un?0; lim?lim?0. n??un??ununnn11?uun?1nnnn?1 ? limn?lim?lim?1?lim?2; ?级数不绝对收敛。n??n??un??un??n?1u1nn?1n?1n 21
?Sn??(?1)k?1nk?1?11??11??11?1?1n?1?1n?11????????(?1)???(?1),????????uuuuuuuuuuk?1??12??23?n?1?1n?1?k?n1. 故级数收敛且为条件收敛。 u1n ?limSn?n??28、设函数
1??f ( 0, y? )???f???cotynf(x,y)可微，??f(x,y), f?0,??1, 且满足lim ???e n??f?0,y??x?2???????求 f(x,y).
分析：利用重要极限公式求出已知极限的左边，再与右边进行比较得到一个微分方程，求此微分方程。
f(0,y?)?f(0,y)1?1n???limfy(0,y)f(0,y?)f(0,y?)?f(0,y)1n??f(0,y)????nnn?lim?1??e?ef(0,y) 解： lim???n??n??f(0,y)?f(0,y)???????nn1fy(0,y)f(0,y)?dlnf(0,y)?coty，对dyy积分得lnf(0,y)?lnsiny?lnc又已知f(0,y)?csiny
代入f(0,?)?1得c?1，f(0,y)?siny2?f??f?f(x,y)?c(y)e?x?x，
?f(0,y)?siny，?c(y)?siny故f(x,y)?e?xsiny.
29、如图所示，设河宽为a，一条船从岸边一点O出发驶向对岸，船头总是指向对岸与点O相对的一点B。假设在静水中船速为常数 V，河流中水的流速为常数 V，试
12求船过河所走的路线(曲线方程)；并讨论在什么条件下（1）船能到达对岸；（2）船能到达点B.
分析：利用物理学知识容易建立运动轨迹的数学模型，该模型是微分方程，求解微分方程，对字母进行讨论。
22
解：如图所示，设P(x,y)为船在要时刻的位置 此时两个分速度为dx?v2?v1sin?dtdy??v1cos?(0???)， dt2消去t得dy?dxv1cos?vcos?1?(k?2) ?v2?v1sin?k?sin?v1ksec??tan?，
又tan??x,则sec??a?yx2?(a?y)2a?y,代入得
dya?y?(路线满足的微分方程)令a?y?ux，则有 dxkx2?(a?y)2?xduudx?11?1?1?1?u2?u?x?,????du积分lnx??ln?dxk1?u2?1x?ku1?u2u?k?u?(a?y)k?ca?yx?x2?(y?a)2???lnu?lnc ??aa?y1?ka?y1?k由y(0)?0得c?a,化简得x?[()?()]
2aax?0,可到点B(0,a); 讨论：①当1?k?0,.即k?1,v2?v1时,则ylim?a?②当1?k?0,即k?1,v2?v1,1?k?2时,则limx?a,可达对岸点(a,a)
y?a?22x不?,不能对达对岸. ③当1?k?0即k?1,v2?v1,1?k?2时,ylim?a?30、已知x0?1，x1?13x0?4，x2?13x1?4，…，xn?1?13xn?4，….
求证：（1）数列{xn}收敛；（2）{xn}的极限值a是方程x4?4x?1?0的唯一正根.
分析：要直接判断数列{xn}收敛有困难时，可以先构造一个级数
?xn?0?n?1?xn，判断级数的收敛。也可以先判断偶数项单调减少，奇数项
单调增加，利用子序列相同的收敛性判断数列的收敛性。
23
解一：（1）?0?xn?1，
?33xn?xn11?1 xn?1?xn?3?3?33xn?4xn?1?4(xn?4)(xn?4)?122xn?xn?1xn?xnxn?1?xn?14n2?3xn?xn?116??3??3????xn?1?xn?2?????x1?x0?16??16?n?2n
4?3??3?1????1???5?16??16?5?n3?； 又?????n?0?16?收敛，??xn?1?xn收敛，
n?0??(xn?1?xn)收敛，又因Sn?xn?1?x0，故?xn?收敛。
n?0（2）令limxn?a，?0?xn?1，?a?0，且a?n??1a3?4，a4?4a?1?0，即
4?4x?1，x?(0,??)，f?(x)?4x3?4?0，a是x4?4x?1?0的根，令f(x)?xf(0)??1，limf(x)???，故f(x)?0根唯一。
x???解二：由已知x0?1，x1?111x??0.2495x?0.2490…，?0.2，…，2333x13?4x2?4x0?4由此可见，x0?x2，x1?x3 （用归纳法证明偶数项单调减少，奇数项单调增加）。
设x2n?2?x2n，x2n?1?x2n?1。
x2n?1x32n?1?4?1x32n?1?4?x2n?2， x2n?1?11?3?x2n?3 x?4x2n?2?432n由0?xn?1知?x2n?、?x2n?1?收敛，令limx2n?a，limx2n?1?b； n??n??由0?x2n?1，0?x2n?1?1，知0?a?1，0?b?1。 对x2n?13x2n?1?4两边取极限得a?13ab?4a?1 ① ，
b3?4对x2n?1?1两边取极限得b?31，a3b?4b?1 ② 3x2n?4a?4由①—②得ab(b2?a2)?4(a?b)?0，解得a?b?0
由a?b知?xn?收敛，且为方程x4?4x?1?0的根（再证唯一性）。
24