（1）确定a，使g(x)处处连续；
（2）对以上所确定的a，证明g(x)具有一阶连续导数.
分析：分段函数的连续和导数，在分段点的导数一般用定义来求. 解：（1）因为若g(x)处处连续，则g(x)在x?0处连续. 于是f(0)?0，且
a?limf(x)x?limf(x)?f(0)x?0x?0x?f'(0)?0. ?f(x)（2）因g(x)??? , x?0 ,?x ?0 , x?0 .f(x) g'(0)?limg(x)?g(0)?0x?0x?limxx?0x?limf(x)x?0x2
?limf'(x)1f'(xx?02x?2lim)?f'(0)x?0x?12f\(0) ?xf'(x)?f(x) , x?0于是 g'(x)????x2 ,1
???2f\(0) , x?0 ,显然，当x?0时，g'(x)连续，当x?0时，因为
limg'(x)?limxf'(x)?f(x)?f'(x)f(x)?f'(x)?f'(0)f(x)x?0x?0x2?limx?0??x?x2???limx?0x?0?limx?0x2 ?f\(0)?12f\(0)?1
2f\(0)?g'(0)所以g'(x)在x?0处连续，故g(x)具有一阶连续导数. 22、设幂级数 ??axnn, 当n?1时an?2?n (n?1) an，且a0?4, a1?1;
n?0（1）求幂级数??axnn的和函数S(x)； n?0（2）求和函数S(x)的极值.
分析：注意到an?2与an的关系，容易想到要对级数求两次导。 解（1）令??S(x)??anxn,则S?(x)?n?0?nanxn?1
n?1?S??(x)??n(n?1)an?2?n?2?nx?an?2x?n?2?n?2?annx?S(x)，S??(x)?S(x)?0
n?0 16
5353S(x)?c1ex?c2e?x由S(0)?a0?4,S?(0)?a1?1，求得c1?,c2?,S(x)?ex?e?x
2222（2）由S?(x)?5ex?3e?x?0得x0?1ln3,又S??(x0)?0,?S(x0)为极小值S(1ln3)?22252515. x3x5x2n?1??的和函数，23、求幂级数x?????并指出它们的定义域。
352n?1分析：求收敛域是比较简单的。因为级数求导后变成了可以直接写出结果的级数，因此可以先求导，再积分。 解：因为幂级数limnan?lim2n?112n?1?1， n??n???1?1且x??1时?与?都是发散级数，
n?12n?1n?12n?1?所以此幂级数的收敛域为(?1,1)。
设其和为f(x)，于是当x?(?1,1)时，逐项求导得：
f?(x)?1?x2?x4???x2n???1， 21?x所以f(x)??0x111?xdt?ln1?t221?xx?1
xnn?x3,x?[0,]。证明：lims(x)?s(1)，并求其值。 24、设s(x)??nsinx?1222xnn?x,n?1,2,3?， 证明：设un(x)?nsin22它们都是[0,]上的连续函数，且有
xn33un(x)?n?()n,x?[0,]。
242323显然?()为收敛级数。
4n故由优级数判别法知?un(x)为[0，]上一致收敛。
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从而该级数的和函数s(x)在[0，]上连续。
11n?(?1)n?12?2。 s(x)?s(1)，且s(1)??nsin??2n?1?于是有limx?122251?143225、（2003高数一）
某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0 （注：m表示长度单位米.） 解：(1) 设第n次击打后，桩被打进地下xn，第n次击打时，汽锤所作的功为Wn(n?1,2,3,?). 由题设，当桩被打进地下的深度为x时，土层对桩的阻力的大小为kx，所以 kk22x2k2k2?x12)?(x2?a2). W2??xkxdx?(x2122 W1??0kxdx?x12?a2， x1由W2?rW1可得 2 x2?a2?ra2 2即 x2?(1?r)a2. 22)?[x3?(1?r)a2]. W3??xkxdx?(x32?x22x3k2k2由W3?rW2?r2W1可得 2 x3?(1?r)a2?r2a2， 18 从而 x3?1?r?r2a， 即汽锤击打3次后，可将桩打进地下1?r?r2am. （2） 由归纳法，设xn?1?r?r2???rn?1a，则 Wn?1??xn?1xnk22kxdx?(xn?1?xn) 2 =[xn2?1?(1?r???rn?1)a2]. 由于Wn?1?rWn?r2Wn?1???rnW1，故得 2n?1 xn)a2?rna2, ?1?(1?r???rk2从而 xn?11?rn?1?1?r???ra?a. 1?rn于是 limxn?1?n??1a， 1?r1a m. 1?r即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下 26、设f(x)在[0，1]上具有二阶导数，且f??(x)?0，求证：?f(x)dx?f(1). 102分析： 考虑到题目涉及f(x)、f()与f??(x)的关系，首先联想到利用泰勒公式. 证一 将f(x)在x0?1处展开为一阶泰勒公式 21111f(x)?f()?f?()(x?)?f??(?)(x?)2 （?2222?f??(x)?0，?f(x)?f()?f?()(x?12在x与1之间） 212121) (这一步也可由凹函数的性2质直接得到) 由定积分的性质得 ? 10f(x)dx??101f()dx?2?101111111f?()(x?)dx?f()?f?()(x?)dx?f(). 2222022?19 分析： 考虑到题目涉及定积分，还可对f(x)的原函数利用泰勒公式. 证二 令F(x)??f(t)dt，则F?(x)?0xf(x)， ?f(x)dx?F(1)?F(0). 01将F(x)在x0?1处展开为二阶泰勒公式 211111111F(x)?F()?F?()(x?)?F??()(x?)2?F???(?)(x?)3 2222226211111111?F()?f()(x?)?f?()(x?)2?f??(?)(x?)3 （?22222262在x与1之 2间）. 利用公式 ?f(x)dx?F(1)?F(0) 容易得证. 01分析： 所证不等式的几何意义是高为f()、宽为1的矩形面积不小于以y?f(x)为曲边（0?x?1）的曲边梯形的面积，矩形可以认为是由曲边梯形增加一部分与减少一部分得到，而增加的一部分面积大于减少的一部分面积；为了证明这一点，可从x?的左右对称点出发来研究. 证三 ?x?(0, 1)，有1?x?(1, 1)，?在[0，1]上f??(x)?0 22f(x)?f(1?x)1，即f(1)?f(x)?f(1?x)?f(1)， ?f()?22221212?12[01f()?f(x)]dx?2120?12[01f(1?x)?f()]dx?2?1[211f(x)?f()]dx （令1?x?t） 2故 ?0f(x)dx??1f(x)dx??112f(x)dx??1201f()dx?2?1121f()dx?2?1011f()dx?f(). 22分析： 证明数字不等式往往是先设法转化为函数不等式，再利用函数的单调性加以证明；转化的方法是将结论中的积分上限（或积分下限）换成x，式中相同的字母也换成x，移项使不等式一端为零，则另一端的表达式即为需作的辅助函数。f()前面乘以x是由不等式的几何意义想到的. 20 x2